Dízima Periódica


Na matemática, os números racionais são aqueles que podem ser representados por frações e suas versões decimais, ou seja, números não inteiros. Esta é uma afirmação bem simples e genérica a respeito dos números racionais que têm nas dízimas periódicas suas versões mais interessantes. Uma dízima periódica é um número derivado de uma fração, mas na forma decimal. A peculiaridade desta representação dos números racionais é a formação de uma dízima que se repete em períodos infinitamente. Veja os exemplos:

2/3 = 0,6666…
1/3 = 0,33333…
4/13 = 0,307629307629…

A representação de uma dízima periódica pode ser feita com a inclusão de reticências (…) após a dízima ou colocando um traço sobre o período, que é o conjunto de números que se repete na mesma ordem infinitamente.

Dízima

Dízima periódica simples e composta

Existem dízimas periódicas simples e compostas. A diferença é pequena, mas interfere bastante na formação da fração que deu origem a dízima. Uma dízima periódica simples é aquela em que o período fica logo após a vírgula, ou seja, não há nenhum número “estranho” ao período na parte decimal do número racional. Veja os exemplos:

1/7 = 0,142857142857…
1/9 = 0,111111…

É possível perceber que o período nos dois casos acontece desde a vírgula e continua infinitamente. Agora veja estes outros exemplos:

1/45 = 0,02222…
35/42 = 0,83333…

Nestes casos, há um número que não faz parte do período da dízima, entre a vírgula e o período. Desta forma, chamamos estes exemplos de dízima periódica composta. Há vários exemplos em que o período começa a aparecer depois de vários números “estranhos” a ele. É preciso ficar atento e ter uma boa calculadora para saber se um número racional na forma decimal é uma dízima periódica.

Geratrizes de dízimas periódicas

Assim como tudo na matemática, é possível tirar a “prova real” das dízimas periódicas. Neste caso, o procedimento é útil para transformar uma dízima na forma decimal em fração. Ao encontrar a fração que deu origem a dízima, dizemos que esta fração é a geratriz dela. Não é um cálculo complicado, mas exige atenção e, em alguns casos, uma boa calculadora para entender bem os números e os períodos de cada dízima.

Geratrizes de dízimas periódicas simples: para encontrar uma fração geratriz de uma dízima periódica simples é muito fácil. O numerador será o próprio período (e aqui é necessário ter atenção, pois o numerador é composto por todos os algarismos do período. Logo, se um período possui dez algarismos, o numerador da fração terá os dez algarismos também). Já o denominador será representado por grupos de “9”. Neste mesmo exemplo de um período com dez algarismos, o denominador da fração geratriz será 9999999999.

– Exemplo: 0,777. A geratriz é 7/9

Geratrizes de dízimas periódicas compostas: aqui a formação de uma geratriz pode soar mais complicada, mas tudo depende da observação do número na forma decimal. Lembrando que a dízima composta possui um ou mais números que não fazem parte do período entre a vírgula e o próprio período. Neste caso, o numerador de uma geratriz de dízima composta é formado pela subtração da parte não periódica do número formado pela própria parte não periódica, junto do período (no exemplo isso ficará mais claro). Já o denominador é formado por grupos de “9” representando a quantidade de algarismos do período e grupos de “0” representando a quantidade de algarismos da parte não periódica. Vamos aos exemplos:

– A dízima 0,1252525… é formada pela geratriz: (125-1)/990 = 124/990

Esmiuçando: 125 é um número formado pela parte não periódica (1) junto com o período (25), menos a parte não periódica (1). O resultado desta conta é 124, que forma o numerador. Já o denominador é formado pelo grupo de “9” que representa os algarismos do período (período é 25, ou seja, possui dois algarismos, logo são dois “9”) + grupo de “0” que representa os algarismos da parte não periódica (a parte não periódica é 1, ou seja, possui apenas um algarismo, portanto apenas um “0”).

Utilizar as dízimas periódicas para descrever um número racional pode ser mais interessante do que sua forma de fração. Em textos corridos, o visual não fica tão disperso e a representação decimal não interfere na linearidade do formato do texto, o que pode economizar espaço na folha, por exemplo.

Na matemática em geral, os estudiosos preferem utilizar as formas de fração, uma vez que os cálculos são mais fáceis desta forma. Utilizar dízimas periódicas na forma decimal em cálculos requer o uso de calculadoras e quanto mais preciso tiver que ser o resultado da equação, melhor a calculadora precisa ser para fornecer mais casas decimais.

Apenas como curiosidade: o número do Pi não é uma dízima periódica como muitas pessoas acreditam. O valor aproximado de 3,14 não representa uma dízima, pois não há números repetidos na mesma ordem várias vezes infinitamente. O Pi até é infinito, mas não periódico.