Equação trigonométrica

Equações trigonométricas são equações onde a variável a ser definida mostra-se depois do emprego de funções trigonométricas.

Uma das importantes diferenças entre as equações trigonométricas e as outras equações é a essência recorrente dessas funções.

Dessa forma, ao mesmo tempo em que equações do modelo:

3x + 4 = 0

X2 – 4x – 7 = 0

apresentam somente um resultado, ou um número pequeno de resultados, uma equação do gênero:

tg x = 1

possibilita infinitos resultados, uma vez que tg é uma função recorrente do período p, para cada resultado x = a, tem –se que x = a + p e x = a – p, também serão resultados possíveis, da mesma forma que qualquer outra grandeza x = a + k p, onde k é um, número inteiro positivo, negativo ou zero.

Uma expressão trigonométrica elementar é toda expressão do formato sen a = sen b, cos a = cos b e tg a = tg b, no qual x é um circulo trigonométrico incógnita, que precisa ser definida, e a um circulo trigonométrico indefinido.

Na maioria dos casos, toda expressão trigonométrica não elementar, pode ser convertida em uma equação trigonométrica elementar, por meio da utilização dos casos trigonométricos comuns.

OBS: os círculos b e b + k.2 p, no qual k representa um número inteiro, apresentam os mesmos limites finais e iniciais, uma vez que se distinguem entre eles, por uma quantidade inteira de voltas, isto é:

b + k.2 p – a = k.2 p

É importante lembrar que 2 p equivale a 360º, ou seja, uma volta inteira.

Para a resposta das expressões trigonométricas elementares, é preciso determinar os seguintes casos fundamentais:

Círculos com o mesmo seno

Já se descobriu que sen (p – b) = sen b.

Usando a definição anterior, sendo a um circulo trigonométrico, os resultados usuais da igualdade precedente serão da maneira:

1) a = (p – b) + k.2 p ou a = b + k.2 p

2) a = p + 2k. p – b ou a = b + k.2 p

3) a = (2k + 1) p – b ou a = 2k p + b

Dessa forma, o resultado geral de uma expressão do modelo sen a = sen b, é a = (2k + 1) p – b ou a = 2k p + b.

Círculos com o mesmo cosseno

Já se descobriu que cos ( – b) = cos b.

Igual a situação anterior, é possível escrever para os resultados comuns da igualdade anterior, onde a = (-b) + 2k p ou a = b + 2k p, onde k é um número inteiro.

Com isso, o resultado geral de uma equação do modelo cos a = cos b, será expressa por:

a = 2k p + b ou a = 2k p – b, onde k é um número inteiro.

Círculos com a mesma tangente

Já se descobriu que tg (p + b) = tg b.

Igual a primeira situação, é possível escrever para os resultados comuns da igualdade anterior, onde a = (p + b) + 2k p ou a = b + 2k p. Arrumando de forma adequada, pode-se expressar por: a = (2k + 1) p + b ou a = 2k p + b, onde k é um número inteiro.

Considerando que 2k é um algarismo para e 2k + 1 é um algarismo ímpar, tendo k um número inteiro, percebe-se que é possível juntar as duas expressões anteriormente citadas em uma só: a = k p + b.

Dessa maneira, o resultado geral de uma equação do modelo tg a = tg b, será expressa por a = k p + b.

A utilização das igualdades anteriores possibilita solucionar qualquer tipo de expressão trigonométrica elementar que possa ser mostrada. De modo que toda expressão trigonométrica pode ser abreviada a uma expressão elementar por meio de mudanças trigonométricas apropriadas, as igualdades anteriores são indispensáveis para a solução de toda expressão trigonométrica. Essa é uma questão de extrema importância.

Seno, cosseno e tangente

As primeiras pesquisas sobre a trigonometria são relacionadas ao grego Hiparco, quem combinou os ângulos e os lados de um triangulo retângulo e provavelmente criou o primeiro quadro de valores trigonométricos, por esse motivo vários especialistas o conceituam como o pai da trigonometria. As pesquisas trigonométricas no triangulo são apoiados em três relações essenciais: seno, cosseno e tangente.

No triangulo, os ângulos de 30°, 45° e 60° graus são conceituados notáveis, uma vez que são usados em vários cálculos. Por esse motivo seus valores trigonométricos equivalentes são ordenados da seguinte maneira:

30º àsen = 1/2 | cos = v2/2 | tg = v3/3

45º àsen = v2/2 | cos = v2/2 | tg = 1

60º àsen = v3/2 | cos = 1/2 | tg = v3