Fórmulas do arco duplo

As formulas do arco duplo são utilizadas para calcular as funções seno, cosseno e tangente de um arco, quando multiplicado por 2.

Para realizar o cálculo de arcos duplos, são considerados as fórmulas de adição de arcos, quando o objetivo é descobrir o valor de razões trigonométricas.

É importante ressaltar que quando multiplicado por 2, os valores de seno, cosseno e tangente do arco duplo não são o dobro do valor do arco simples. Vejamos alguns exemplos:

• Considere um arco simples que equivale a 30°. Seu arco duplo equivale a 60°. Então temos que seno 30° não é igual ao seno 60°. Apesar do arco duplo ser o dobro do valor em graus, seus resultados de seno, cosseno e tangente são diferentes.
• Ainda no mesmo exemplo, teríamos que: seno 30° = ½; cosseno 30° = √3/2; tangente 30° = √3/3.
• No entanto, seno 60° = √3/2; cosseno 60° = 1/2; tangente 60° = √3
• Ou seja, o arco duplo não equivale ao dobro do valor do arco simples quando falamos no cálculo final.

Como obter a fórmula do arco duplo

Para obter a fórmula do arco duplo, consideramos a soma e a subtração de dois arcos. Assim, temos que:

• Seno:

Para fazer o cálculo do seno de dois arcos de valores diferentes consideramos que:

sen(a b) = sena·cosb senb·cosa

Então, para a fórmula do arco duplo basta considerar que a = b. Portanto, temos que:

Seno 2a = seno (a a) = seno a . cosseno a seno a . cosseno a = 2 seno a . cosseno a

• Cosseno:

Para calcular o valor do cosseno de dois arcos de valor diferente usamos a fórmula abaixo:

cos(a b) = cosa·cosb – sena·senb

Então, para o arco duplo, assim como fizemos no seno, considerados que a = b:

Cosseno 2a = cosseno (a a) = cosseno a . cosseno a seno a . seno a = cosseno²a – seno²a

Ainda assim, é possível deixar essa fórmula ainda mais simples, pois sabemos que:

sen²a cos²a = 1

Então, podemos substituir sen²a por:

sen2a = 1 – cos2a

Portanto a fórmula do cosseno de um arco duplo pode ficar ainda mais simples:

Cos2a = cosseno²a – seno²a

Substituímos o valor de seno²a pela fórmula que encontramos acima e temos que a fórmula para o cálculo do cosseno de um arco duplo pode ser resumida:

cos(2a) = cos²a – (1 – cos²a)
cos(2a) = cos²a – 1 cos²a
cos(2a) = 2cos²a – 1

Há ainda uma terceira opção para se fazer o cálculo do cosseno de um arco duplo. Nesse caso vamos considerar que:

sen²a cos²a = 1
Cos²a = 1 – sen²a

Fazendo então a substituição do valor de cos²a na primeira fórmula obtida, temos que:

cos(2a) = cos²a – sen²a
cos(2a) = 1 – sen²a – sen²a
cos(2a) = 1 – 2sen²a

• Tangente:

Quando falamos em soma de arcos, consideramos a seguinte fórmula:

tg(a b) = tga tgb
1 – tga·tgb

No entanto, no cálculo de arcos duplos, a = b. Então temos:

Tangente 2a = tg (a a) = tg a tg a / 1 – tg a . tg a = 2 tg a / 1 – tg²a

Exemplos de seno, cosseno e tangente de arcos duplos

1. Qual o valor de um arco duplo com seno de 90°?

Usando a fórmula que vimos no tópico anterior, sabemos que:

Seno 2a = seno (a a) = seno a . cosseno a seno a . cosseno a = 2 sen a . cos a

Então se:

Sen 2a = 2 sen a . cos a
Sen 90° = 2 sen 45° . cos 45°
Sen 90° = 2 . √2/2 . √2/2
Sen 90° = 1

2. Sabendo que seno a = 10 e cosseno a = 5, calcule os valores de sen 2a e cos 2a.

Começamos resolvendo esse problema descobrindo o valor de sen 2a:

Sen 2a = 2 sen a . cos a
Sen 2a = 2 . 10 . 5
Sen 2a = 100

Em seguida vamos descobrir o valor de cos 2 a, vimos acima que a fórmula do arco duplo para o cosseno pode ser bastante simplificada. Como já temos o valor de seno a, vamos utilizar:

cos(2a) = 1 – 2sen²a
cos 2a = 1 – 2 . (10)²
cos 2a = 1 – 2 . 100
cos 2a = 1 – 200
cos 2a = 199

3. Qual o valor de um arco duplo com tg = 60°?

Para resolver esse problema, sabemos que:

Tg 2a = 2 tg a / 1 – tg²a
Tg 60° = 2 . tg 30° / 1 – (tg 30°)²
Tg 60° = 2 . √3/2 / 1 – (√3/2)²
Tg 60° = √3

Como você pode ver, fazer o cálculo de arcos duplos não é complicado quando temos as fórmulas em mãos. Para a operação cosseno é possível simplificar a fórmula, principalmente quando temos os dados de seno a ou podemos descobrir esse valor.