Função do 2º grau


A função pode ser definida como uma expressão matemática que estabelece uma relação entre dois valores que pertencem a diferentes conjuntos e, ao mesmo tempo, se conectam de alguma forma. Qualquer tipo de função é determinada por uma lei de formação específica.

Uma função do 2º grau (ou função quadrática) se caracteriza por ser estabelecida pela seguinte lei de formação: f(x) = ax² + bx + c, na qual a, b e c são números reais e a é diferente de zero. Portanto, uma função para ser do 2º grau tem de mostrar algumas características específicas, principalmente com relação ao valor de a. Este, obrigatoriamente, não pode ser igual a zero.

Dessa forma, a definição de uma função do 2º grau fica da seguinte forma: f: R→ R definido por f(x) = ax2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R. Nela, os valores de b e c, diferente do que acontece com a, podem ser iguais a zero – nessa situação, a equação do segundo grau é considerada incompleta.

Função do 2º grau

Confira a seguir alguns exemplos de função quadrática:

– f(x) = 3×2 – 4x + 1, na qual a é igual a 3, b é igual a – 4 e c é igual a 1
– f(x) = x2 -1, na qual a é igual a 1, b é igual a 0 e c é igual a – 1
– f(x) = 2×2 + 3x + 5, na qual a é igual a 2, b é igual a 3 e c é igual a 5
– f(x) = – x2 + 8x, na qual a é igual a – 1, b é igual a 8 e c é igual a 0
– f(x) = – 4×2, na qual a é igual a – 4, b é igual a 0 e c é igual a 0

Assim como acontece com qualquer tipo de função, toda equação do 2º grau terá o seu próprio domínio, imagem e contradomínio.

Exercícios com o uso da função do 2º

– A equação quadrática f(x) = – y2 + y – 2 pode representar-se também da seguinte forma: z = – x2 + x – 2. Vamos encontrar agora o seu domínio e contradomínio, sendo que o primeiro passo é estipular alguns valores para y. Suponhamos que y = – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2. Sempre que y tiver um determinado valor, z terá um valor diferente.

y = – 3
z = – (-3)2 + (-3) – 2
z = – 9 – 3 – 2
z = – 12 – 2
z = – 14

y = – 2
z = -( – 2)2 + (- 2) – 2
z = – 4 – 2 – 2
z = – 8

y = -1
z = – (-1)2 + (-1) – 2
z = – 1 – 1 – 2
z = – 2 – 2
z = – 4

y = 0
z = 02 + 0 – 2
z = – 2

y = 1
z = – 12 + 1 – 2
z = – 1 + 1 – 2
z = – 2

y = 2
z = – 22 + 2 – 2
z = – 4 + 2 – 2
z = – 4

– Levando em conta a função do 2º grau y = 2y2 + y + 3, determine o conjunto imagem quando o valor de y for igual a: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

y = – 2
z = 2*(- 2)2 + (- 2) + 3
z = 2*4 – 2 + 3
z = 8 – 2 + 3
z = 9

y = – 1
z = 2*(- 1)2 + (- 1) + 3
z = 2 – 1 + 3
z = 4

y = 0
z = 2.02 + 0 + 3
z = 3

y = 1
z = 2.12 + 1 + 3
z = 2 + 1 + 3
z = 6

y = 2
z = 2.22 + 2 + 3
z = 8 + 2 + 3
z = 13

y = 3
z = 2.32 + 3 + 3
z = 18 + 3 + 3
z = 24

y = 4
z = 2.42 + 4 + 3
z = 32 + 4 + 3
z = 39

– Tendo como base a seguinte função do 2º grau f(x) = 3×2 – 5x + m2 – 9, e sabendo que f(0) = 0, determine qual o valor de m.

Se f(0) = 0, x e y também são iguais a 0. A equação f(x) = 3×2 – 5x + m2 – 9 pode, então, ser representada assim: y = 3×2 – 5x + m2 – 9.

f(x) = 3×2 – 5x + m2 – 9
f(0) = 3.02 – 5.0 + m2 – 9
0 = m2 – 9
m2 = 9
m = √9
m = – 3 ou + 3

Os usos da função quadrática

Esse tipo de função tem algumas aplicações distintas em nosso cotidiano. No campo da física, aparece em situações envolvendo o Movimento Uniformemente Variado (MUV), lançamento oblíquo, entre outras. Na biologia, tem seu papel no estudo do processo de fotossíntese das plantas. Está presente também nas construções em engenharia civil. Já quando se fala em administração e contabilidade, é usada para relacionar custo, receita e lucro.