Identidade Trigonométrica

Para muitas pessoas que não têm tanta proximidade assim com a matemática e, em especial, com a trigonometria, só o nome “Identidade Trigonométrica” já pode parecer confuso. O que seria isso? Então, vamos lá: a Identidade Trigonométrica é uma equação que envolve diversas funções da trigonometria. Essa equação tem que ser sempre verdadeira em relação as variáveis envolvidas nela. Portanto, todas as igualdades verificáveis que envolvem as funções trigonométricas são denominadas dessa forma.

Embora pareça um tanto quanto difícil, a verificação das Identidades Trigonométricas é fácil. Tente se lembrar das famosas “relações derivadas” e “relações trigonométricas”, pois esses são alguns dos exemplos de identidade verificável. Caso você não se recorde disso, veja alguns exemplos abaixo:

Exemplo 1

sen²x + cos²x = 1

Exemplo 2

tg x = sen x
_______
cos x

Exemplo 3

cotg x = 1 = cos x
____ ______
tg x sen x

Exemplo 4

sec x = 1
______
cos x

Exemplo 5

cossec x = 1
______
sen x

Exemplo 6

tg² x + 1 = sec² x

Exemplo 7
cotg² x + 1 = cossec² x

Como resolver as Identidades Trigonométricas?

A resolução ocorre através da demonstração, que nada mais é do que provar que os dois lados da equação possuem ou mesmo valor e/ou são equivalentes. Ou seja, as relações de trigonometria que já conhecemos são um meio de demonstrar que as duas vertentes da equação são correspondentes. Também é possível que, analisando apenas um lado da equação, tenhamos o mesmo valor do outro.

Veja abaixo alguns exemplos de demonstração com exercícios resolvidos:

Exemplo 1

1 – sen²x
______________ = cos x
cos x * sen x

Desenvolvimento da equação, com as simplificações devidas

cos²x
______________ = cos x
cos x
______ * sen x
sen x

Logo

cos²x
______ = cos x
cos x

cos²x * 1
_____ = cos x
cos x

Assim, chegamos ao resultado

cos x = cos x

Se os dois lados da equação são equivalentes, então a identidade é verdadeira. Veja o outro exemplo abaixo.

Exemplo 2

tg² (x). (cos (x) – sen (x)) = sen (x).(tg(x) – tg²(x))

Vamos chamar a equação tg² (x). (cos (x) – sen (x)) de f(x)

e

a equação sen (x).(tg(x) – tg²(x)) de g(x)

Logo, o que temos que fazer é provar que f(x) tem o mesmo valor de g(x)

f(x) = tg² (x) . (cos (x) – sen (x))

f(x) = tg² (x). cos (x) – tg² (x). sen (x)

O próximo passo é substituir tg² (x) por sen² (x) : cos² (x). Dessa forma, sua equação ficará assim:

f(x) = sen² (x). cos (x) – sen² (x). sen (x)
________ ________
cos² (x) cos² (x)

Simplificando o cosseno (cos(x)), substituindo- o por cos²(x) em relação ao denominador, então teremos a seguinte equação:

f(x) = sen² (x) – sen² (x). sen (x)
________ ________
cos (x) cos² (x)

f(x) = sen (x). sen (x) – sen² (x). sen (x)
________________ _______
cos (x) cos² (x)

f(x) = sen (x). sen (x) – sen² (x). sen (x)
_______ ________
cos (x) cos² (x)

f(x) = sen (x). tg (x) – tg² (x). sen (x)

O procedimento, agora, é o de colocar sen(x) em evidência. Logo teremos o seguinte resultado:

f(x) = sen (x). (tg (x) – tg² (x))

Note que esse resultado (f(x) = sen (x). (tg (x) – tg² (x))) é o mesmo em relação ao valor de g(x), apresentado no começo do exercício.

Relembre:

g(x) = sen (x) . (tg(x) – tg² (x))

Se f(x) = g(x), então, provamos que a identidade é verdadeira.

Conceito de Identidades Trigonométricas

Basicamente, as Identidades Trigonométricas são as relações de soma e diferença entre os ângulos. Se, por exemplo, queremos calcular o seno, o cosseno ou a tangente de um ângulo de 180° ou 90°, essas relações permitem que o cálculo seja feito de forma facilitada.

Veja exemplos das Identidades Trigonométricas mais utilizadas:

Fórmula Exemplo 1
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

Fórmula Exemplo 2
sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a

Fórmula Exemplo 3
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . cos b

Fórmula Exemplo 4
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . cos b

Fórmula Exemplo 5

tg a – tg b
tg (a + b) = ________________
1 – tg a . tg b

Fórmula Exemplo 6

tg a – tg b
tg (a – b) = _______________
1 + tg a. tg b

Veja que, antes de utilizar qualquer uma dessas fórmulas acima, é preciso encontrar a soma de ângulos notáveis para resolver a equação.

Considerações finais

Qualquer equação que envolva funções trigonométricas, sendo essa equação verdadeira para os valores de todas as variáveis que estão envolvidas nela, trata-se de uma Identidade Trigonométrica. As identidades são utilizadas sempre que as equações envolvendo funções trigonométricas tenham de ser simplificadas. Para o estudo aprofundado do assunto, recomendamos uma consulta à tabela de Identidades Trigonométricas e também à tabela de Derivadas e Integrais.