Lógica Matemática: Introdução a Proposição


A lógica matemática atua em larga escala, encarando o princípio da proposição como uma base para a maioria dos raciocínios que pode acontecer à frente. Na verdade, é a partir da proposição que ela consegue se desenvolver, pois apenas entrando no campo das possibilidades é que conseguimos lidar com informações mais complexas, que nos levarão a questões mais influentes no campo da matemática.

É importante também entender a proposição como um ponto de partida que é utilizado em larga escala dentro do âmbito do raciocínio lógico na matemática. Nem sempre, a proposição é verdadeira e, na maioria das vezes, ela nem precisa ter uma comprovação integral para ser encarada como verdadeira.

Lógica Matemática

Para estudar a lógica matemática com foco na proposição, é preciso entender os princípios que regem esta área de estudo. E nesse sentido, podemos separá-los em três:

• Princípio da identidade – através da qual entendemos que uma proposição verdadeira sempre será verdadeira e uma proposição falsa sempre será falsa;

• Princípio do terceiro excluído – onde eliminamos as possibilidades complementares, ou seja, uma proposição pode ser falsa ou verdadeira, nunca poderá existir uma terceira opção de resolução;

• Princípio da não-contradição – Em nenhuma hipótese, uma proposição poderá apresentar uma resposta verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Entendendo estes três princípios, podemos começar a entender as ideias mais complexas a respeito da proposição.

A definição etimológica da proposição

A lógica é nosso ponto de partida ao estudar a proposição. A partir dela, organizamos argumentos que nos ajudam a resolver questões que podem ou não ser matemáticas. Esses argumentos aos quais nos referimos são as proposições. De forma abrangente, as proposições podem ser verdadeiras ou falsas. Para cada uma dessas possibilidades, é atribuído um valor de proposição, sendo que V é para uma proposição verdadeira e F para uma proposição falsa.

Aqui, é importante entender também que as proposições são entendidas como sendo afirmações nas quais conseguimos ter uma atribuição lógica, que pode ser verdadeira ou falsa. Nos casos das afirmações em que não temos uma atribuição lógica, já que ela não pode ser verdadeira ou falsa. Porém, para esses casos, é possível utilizar dados chamados quantificadores. Para exemplificar, vamos analisar as questões abaixo:

• 1+1 é 2 – uma proposição verdadeira, pois afirma um resultado correto;

• 1+1 é 3 – uma proposição falsa, pois afirma um resultado incorreto;

• x+1 é 3 – nesse caso, não temos uma proposição, pois não temos todos os dados envolvidos. Neste caso, para transformar em uma proposição, podemos adaptar da seguinte forma:

• Se x é igual a 2, então x+1 é 3 – uma proposição verdadeira;

Ou

• Se x é igual a 5, então x+1 é 3 – uma proposição falsa;

Existem muitos casos em que as proposições falsas são estipuladas apenas com o objetivo de eliminar os possíveis resultados falsos, o que nos ajuda a conseguir chegar aos resultados corretos do ponto de vista matemático.

Quando não há uma proposição

Porém, existem casos que a proposição, ou seja, uma proposta para resolver uma ação, não será o bastante para resolver a questão apresentada. Em um caso desses, podemos identificar outras formas de sentenças, que são semelhantes à proposição, mas que atuam de forma diferente. São elas:

• Sentenças de interrogação – ou seja, aquelas que questionam para obter alguma resposta, por exemplo: “qual é o seu nome?”.

• Sentenças imperativas – é a ferramenta utilizada para dar ordem ou posicionar alguém. Por exemplo: “É preciso agir agora”.

• Sentenças de exclamação – no caso, as formas mais diretas e espontâneas de se chegar a uma reação. Por exemplo: “Isso!”.

• Sentenças abertas – o tipo de informação que não informa claramente os dados, ou que não demonstra claramente suas respostas, como “talvez essa seja a melhor opção”.

Em todos esses casos, excluímos a possibilidade da proposição, pois não é possível defini-los como verdadeiro ou falso, tampouco é necessário isso. Para a lógica matemática, na maioria dos casos em que o item não é uma proposição, apenas o declaramos como impassível de resolução.

Fechando os princípios

Por fim, podemos entender que as proposições sempre serão sentenças declarativas, pois somente a essas é possível atribuir uma resposta como verdadeiro ou falso. Na prática, estas ideias são importantes, pois serão utilizadas tanto nos estudos que regem os estudos comunicativos quanto às ciências de raciocínio lógico.

O estudo das proposições nos ajudará, por exemplo, a resolver complexas questões de física e de probabilidade matemática. Nos auxiliará nos estudos da química e também influenciará no desenvolvimento de estudos mais complexos nos variados ramos da matemática básica, financeira e de projeção.

Outro ponto importante de se lembrar é das classificações das proposições, que podem ser simples, no caso as afirmações diretas e mais práticas, e as proposições compostas, que envolvem a combinação de duas ou mais proposições. Mas para esses casos, vale a pena se informar melhor em nossos artigos a respeito de cada um desses temas, com demonstração prática de sua aplicabilidade e exemplos de definição.