Matriz quadrada


A matemática é incrível por diversos motivos, um deles é o fato de que tem os seus próprios mecanismos que permitem a resolução mais prática de determinados tipos de problemas ou que possibilitam uma melhor organização e visualização dos elementos de um objeto de estudo. É dentro disso que se encaixa o conceito e o uso das matrizes que você verá agora, com destaque para a matriz quadrada.

O que é matriz e como surgiu?

Uma matriz é uma espécie de tabela formatada no modelo m.n, em que m representa o número de linhas e n indica o número de colunas que a compõe. Essa tabela serve para organizar os elementos de um conjunto, sendo muito utilizada, por exemplo, na resolução dos sistemas de equações lineares e também nas transformações lineares.

Matriz

Uma condição básica para que exista uma matriz, seja ela de qualquer tipo, é que m e n sejam números naturais não nulos, ou seja, qualquer valor inteiro e positivo.

Embora um esboço do que hoje conhecemos como matriz já estivesse sendo construído por matemáticos da Era Cristã, considera-se que esse conceito surgiu para valer e começou a ser aplicado a partir do século XIX. Nos dias de hoje, as matrizes são utilizadas em larga escala em áreas como a economia, física, matemática e engenharia, por exemplo. Por ter essa importância, o conteúdo costuma ser cobrados nos vestibulares, portanto, vale a pena ficar de olho.

Uma matriz é representada por uma letra maiúscula do alfabeto e os termos, ou seja, os elementos que fazem parte dela são representados por essa mesma letra, mas na versão minúscula e acompanhados pelo número que corresponde à sua posição dentro da matriz.

É convencionado que a orientação das linhas se dá de cima para baixo e a das colunas, da esquerda para a direita.

Ficou confuso? Veja um exemplo abaixo:

A = 1 2
3 4

A matriz A é formada por quatro elementos, sendo que: a11 = 1; a12 = 2; a21 = 3 e a22 = 4. Esses números que vão logo ao lado do a minúsculo indicam a linha e a coluna em que o termo se encontra, respectivamente. Portanto, se reescrevermos essa mesma matriz A de forma genérica, podemos dizer que:

A = a11 a12
a21 a22

O número da linha pode ser representado pela letra i e o da coluna pela letra j. Portanto, para indicar um termo qualquer de uma matriz, sobre o qual não conhecemos a posição exata, é possível defini-lo como aij.

Para essa matriz A, temos que m = 2 (porque são duas linhas) e n = 2 (porque também são duas colunas).

Existem diversos tipos de matrizes: triangular, diagonal, identidade, nula, linha, coluna e também a matriz quadrada, que você verá em detalhes a seguir.

O que é uma matriz quadrada?

Esse é o tipo de matriz que pode ser definido de forma bem simples em uma equação: m = n. Isso significa que, para que uma matriz seja considerada como quadrada, o número de linhas e colunas deve ser igual, porque assim, graficamente, a tabela formará um quadrado, com os quatro lados iguais.

Vamos retomar a matriz que vimos acima, que é um exemplo dessa categoria:

A = 1 2
3 4

Essa pode ser definida como uma matriz quadrada 2 x 2, porque tem duas linhas e duas colunas. Ou então, podemos dizer que se trata de uma matriz A2 (quando ela é quadrada, não precisa colocar a quantidade de linhas e de colunas para indicá-la, porque já se sabe que são iguais).

A diagonal principal de uma matriz como essa é aquela que começa no primeiro termo e vai até o último, “dividindo” a tabela em dois lados iguais. Na matriz exposta acima, essa diagonal é formada pelo número 1 e pelo número 4.

É interessante observar que, em uma matriz quadrada, os elementos que formam essa diagonal principal têm i = j, ou seja, ao indicarmos em qual linha e em qual coluna está localizado, o número será o mesmo. É por isso que o 1 é o termo a11 e o 4 é o termo a22. Se essa matriz fosse maior, o próximo número da diagonal principal seria o a33 e assim por diante.

Existe um tipo fixo de matriz quadrada que é a matriz identidade: nela, todos os elementos que formam a diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros são iguais a 0. Vamos ver um exemplo:

B = 1 0 0
0 1 0
0 0 1

Essa é uma matriz identidade de ordem 3, B3 (a palavra ordem é usada para indicar o número de linhas e de colunas), em que a diagonal principal é formada por 1 e o restante, por 0.

C = [1]

Essa também é uma matriz identidade, mas de ordem 1, C1. E obviamente pode ser considerada como matriz quadrada, já que tem uma linha e uma coluna.