Menor Complementar

O menor complementar, na linguagem matemática, trata-se de um determinante que se origina a partir de um elemento de uma matriz quadrada. Para poder calcular esse determinante, é necessário eliminar uma coluna e uma linha da matriz. Também chamado de “menor principal”, o menor complementar é pertencente, portanto, a cada elemento que está dentro de uma matriz quadrada. Acompanhe abaixo os exemplos para compreender melhor.

Se, por exemplo, temos uma matriz quadrada:
A = [2 0 1
1 -2 3
0 3 1]
Cada elemento presente nessa matriz dispõe de um menor complementar.

Se pretendemos calcular, por exemplo, o menor complementar do elemento a22 = -2 da matriz acima, então, será preciso fazer o seguinte cálculo obtido a partir das eliminações da segunda linha e da segunda coluna (que é o determinante a22):

Se A = [2 0 1
1 -2 3
0 3 1]

Então, o valor do menor complementar do determinante a22 será obtido a partir do seguinte cálculo:

Cruzando a coluna e a linha do determinante a 22, temos:

|2 1|
|0 1| = ( 2 . 1 ) – ( 0 . 1 ) = 2 – 0 = 2

Assim sendo, descobrimos que o menor complementar do determinante a22 é igual a 2.

Os elementos de uma matriz quadrada

Agora que já aprendemos que é possível calcular o menor principal quando uma matriz é quadrada ou de ordem igual ou maior a 2, vamos prosseguir com os estudos falando sobre os elementos de uma matriz quadrada. O número de elementos dentro de uma matriz está diretamente relacionado à quantidade de menor complementar que esta possui.

Ou seja:

– Se uma matriz é de ordem 2 ela possui 4 elementos e, portanto, ela possui 4 menor complementar.

– Da mesma forma, uma matriz de ordem 3 possui 9 elementos e, portanto, ela possui 9 menor complementar. E assim vai…

Utilizando, novamente, o exemplo da matriz:
A = [2 0 1
1 -2 3
0 3 1]
Acompanhe o cálculo do menor principal do elemento a33:

|2 0|
|1 -2| = ( 2 . (-2) ) – ( 1 . 0 ) = -4 – 0 = -4

Assim sendo, descobrimos que o menor complementar do determinante a33 é igual a -4.

Com exemplos dados acima em nosso estudo, pudemos compreender que a nossa matriz é desenvolvida da seguinte maneira:

A3x3 = [a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33]

Ou seja, essa é uma matriz de ordem 3, com 9 elementos e 9 menor complementar.

O menor complementar de um elemento aij (leia-se Mij) de uma matriz Anxm trata-se de um determinante (n – 1) x (m – 1) que, por sua vez, tem os mesmos elementos de A, apenas eliminando os elementos que compõem a linha i e a coluna j.

Para que você compreenda melhor, na matriz A3x3 que utilizamos nesses exercícios:

A = M,
i = 3
e
j = 3

Então, o menor complementar de a11, por exemplo, será elaborado a partir da exclusão dos elementos da linha 1 e da coluna 1, como fizemos nos exercícios acima (reveja os cálculos do menor complementar dos determinantes a22 e a33 acima para relembrar).

Cofatores

Agora que já aprendemos a calcular o menor principal, vamos falar sobre os cofatores. O cofator se trata de um número que está diretamente associado a um elemento quaisquer (aqui chamado por nós de “aij”) de uma matriz quadrada (A). E, para definir o cofator, primeiramente é necessário encontrar o valor do menor complementar obtido através dos cálculos que utilizamos acima.

Uma vez que temos o valor do menor complementar de um dos elementos da matriz, podemos definir o cofator (a esse chamamos de “ãij”) associado a esse elemento através da seguinte fórmula:

ãij = (-1)i+j . aij

Para que você compreenda melhor o conteúdo, vamos utilizar novamente o exemplo da matriz
A = [2 0 1
1 -2 3
0 3 1]
Para determinar o cofator associado ao elemento a22.

Utilizando a nossa fórmula, portanto, teremos:

ã22 = (-1)2+2 . a22

No exercício para descobrir o menor complementar de a22, descobrimos que o seu valor é igual a 2. Utilizando a substituição na fórmula, portanto, teremos:

ã22 = (-1)²+² . 2

ã22 = (-1)4 . 2

ã22 = (-4) . 2

ã22 = -8

Dessa forma, descobrimos que o cofator de a22 é -8.

Agora, você pode estar se perguntando para que serve descobrir o cofator. E a resposta é bem simples: o cofator é utilizado para o cálculo do determinante de uma raiz quadrada. Não confunda o termo com “matriz de cofatores”, já que esta, por sua vez, é usada para a inversão de matrizes. Vamos falar brevemente sobre esse termo. Acompanhe:

A matriz dos cofatores de uma matriz A trata-se de uma matriz que é formada por todos os cofatores de A. Veja abaixo:

C = (A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33)

A importância da matriz dos cofatores reside no fato de que esta é utilizada para determinar a inversão de uma matriz.