O logaritmo na matemática financeira


Basta falar o termo ‘logaritmo’ para que os vestibulandos se assustem. Nós compreendemos a razão, porém, lhe garantimos: não há nada o que temer. O logaritmo tem como principal objetivo facilitar, e não tornar ainda mais complicados os cálculos. Ele é utilizado em dois diferentes tipos de cálculos matemáticos: quando o expoente é dotado de uma incógnita, ou quando o expoente é de um valor muito alto.

O logaritmo na matemática financeira

O logaritmo pode ser aplicado nas mais variadas áreas: na química, na biologia, geografia, física, medicina e na matemática financeira. Neste artigo, falaremos exclusivamente da aplicação do logaritmo na matemática financeira.

O logaritmo na matemática financeira

Na matemática financeira a aplicação do logaritmo é feita para calcular qual é o tempo que determinado capital deverá ser aplicado (em regime de juros compostos) até que gere determinado valor total (montante).

Na realidade, não há muito segredo. Geralmente, as contas com logaritmo são realizadas com o auxílio de calculadoras financeiras. Porém, quando o uso das mesmas não é permitido – como no caso de vestibulares e/ou concursos em geral – utilizar o conceito pode ser tornar um pouco mais confuso.

A seguir, vamos conferir alguns conceitos sobre o logaritmo que vão tirar o seu pavor na hora de realizar cálculos envolvendo-o.

Em questões de vestibulares ou de demais provas onde não é possível utilizar uma calculadora financeira como aliada, geralmente os números dos logaritmos são oferecidos, podendo ser utilizados para a resolução final do problema. Sendo assim, em casos como esse, é possível manipular (de modo algébrico) as expressões matemáticas, o que levará à obtenção dos logaritmos.

Exemplo de utilização do logaritmo na matemática financeira

Vamos conferir, a seguir, um exemplo na prática.

• Venda de carro com juros compostos
No exemplo, Maria tem um carro no valor de R$40 mil e quer vendê-lo. O principal interessado é Fernando, que no momento tem em mãos R$5 mil reais.

Para conseguir comprar o veículo, Fernando começa a investir. Ele aplica os R$5 mil em um tipo de investimento que irá render uma taxa de 14% ao ano (em regime de juros compostos).

Neste mesmo período, devemos considerar que o carro de Maria também passará por uma alta desvalorização – que será de, em média, 19% a cada 24 meses (dois anos).

Sendo assim, a problemática da questão é: por quanto tempo Fernando precisará guardar dinheiro (neste mesmo investimento com regime de juros compostos) para que tenha o valor suficiente para a compra do veículo de Maria?

Para realizar o cálculo, a questão dá os seguintes números:

Log 2 = 0,30
Log 3 = 0,48

O montante deve ser calculado com base em duas coisas: na valorização do dinheiro de Fernando aplicado em um investimento de juros compostos e na desvalorização do valor total do automóvel que ele deseja comprar.

Sendo assim, é preciso concluir quanto tempo será necessário até que esses montantes se igualem. Para tal, é preciso calculá-los separadamente.

• Montante do dinheiro aplicado em juros compostos

Md = 5000. (1+ 0,28) t/2
Md = montante do dinheiro

Ps: o valor do logaritmo é de 0,28 considerando que o rendimento é de 14% anual, o que em dois anos, seria o equivalente a 28%.

• Montante da desvalorização do veículo

Mv = 40000 (1 – 0,19) t/2

No primeiro caso, o sinal positiva indica a valorização de 28%, enquanto no segundo, o sinal é negativo uma vez que o veículo irá desvalorizar 19%.

Para igualar os montantes a conta a ser realizada é a seguinte:

5000. (1,28) t/2 = 40000. (0,81) t/2
(1,28/0,81)t/2 = 40000/5000
(1,28/0,81)t/2 = 8 (lembrando que o logaritmo deve ser aplicado em ambos os lados do cálculo).
Log (1,28/0,81)t/2 = log 8

Agora, considerando os valores dos logs informados no enunciado:

1,28/ 0,81 = 128/81 = 2 (a sétima) / 3 (a quarta)
8 = 2³

Voltamos agora para a expressão, que é a seguinte:

Log a(h) = h. log a
Log (a/b) = log a – log b

Temos o seguinte:

Log (2 elevado à sétima potência/3 elevado a quarta potência) t/2 = log 2³ —> t/2 (log 2 elevado a sétima potência – log três elevado à quarta potência) = 3. Log 2

T = 6 log 2/ 7 log 2 = 4 log 3 (log 2 = 0,3; log 3 = 0,48)
T = 6.0,3/7.0,3 – 4.0,48 = 18/1,8 = 10

Sendo assim, o resultado da problemática é: Fernando levará 10 anos para comprar o carro de Maria considerando a valorização de seu montante e a desvalorização do veículo.

Certamente a etapa mais complicada do cálculo diz respeito à parte onde os números com potência (2 com potência elevada a sétima) e 3 (com potência elevada a quarta) foram utilizados. Porém, logo em seguida tais dados são desvendados e é possível prosseguir na resolução do cálculo por meio das propriedades e operações matemáticas que já estamos mais familiarizados em nosso dia a dia.