Permutação Envolvendo Elementos Repetidos

Diferentemente da permutação simples de elementos distintos que você já deve ter estudado antes de chegar até aqui, a permutação envolvendo elementos repetidos trata de agrupamentos que são desenvolvidos com um certo número de elementos, sendo que, pelo menos um desses elementos se repete e a posição diversificada entre esses elementos pode ser capaz de alterar os agrupamentos. É o exemplo da palavra AQUARELA.

Quantos anagramas podem ser obtidos a partir das letras dessa palavra? Podemos descobrir a resposta através de fórmulas específicas para as permutações envolvendo elementos repetidos.

Se estivéssemos aqui falando sobre a permutação simples, ou seja, sem levar em conta as letras repetidas no agrupamento, a permutação da palavra AQUARELA seria:

P8 = 8!

P8 = 8*7*6*5*4*3*2*1

P8 = 40.320

Isso porque sabemos que a fórmula da permutação simples de n elementos diferentes é representada por Pn. Logo, como a palavra AQUARELA tem 8 elementos*:

Pn = n!
P8 = 8! = 40.320

*Lembrando que:

P = é a letra que representa, na linguagem matemática, a Permutação
n = número de elementos
n! = fatorial do número de elementos

No entanto, a palavra AQUARELA possui elementos repetidos, já que a letra A se repete por três vezes no agrupamento. Neste caso, portanto, temos de utilizar outra fórmula, que é a que se refere a esse tipo de permutação. Acompanhe a fórmula da permutação envolvendo elementos repetidos abaixo:

Pn(a, b…) = n!
________
a! b!…

Continuando com a palavra AQUARELA como o nosso exemplo neste exercício, vamos aplicar a fórmula:

P8(3) = 8! => P8(3) = 40.320 => P8(3) = 6.720
___ _________
3! 6

Assim, descobrimos que os elementos da palavra AQUARELA podem formar 6.720 anagramas diferentes.

Permutações com dois, ou mais, elementos repetidos

Acabamos de ver acima como aplicar a fórmula da permutação envolvendo elementos repetidos para descobrir o número de anagramas diferentes possíveis. Porém, nos exercícios acima utilizamos a palavra AQUARELA, que possui apenas um elemento que se repete (a letra A). Para as palavras em que um ou mais elementos se repetem, como é o caso de ARARAQUARA, o procedimento é diferente para conseguir realizar o cálculo.

Note que a palavra ARARAQUARA:

– Repete 5 vezes a letra A;
– Repete 3 vezes a letra R;

Ou seja:

n = 10
a = 5
b = 3

Aplicando novamente a fórmula Pn(a, b…) = n! teremos:
__________
a! b!…

P10(5, 3) = 10! => P10(5, 3) = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5! => P10(5, 3) = 30240 => P10(5, 3) = 5.040
________ ________________________ _______
5! 3! 5! 3! 6

Assim, o número de anagramas que podemos formar a partir dos elementos de ARARAQUARA é igual a 5.040.

Seguindo adiante com os nossos estudos, vamos ver agora uma situação em que ocorre a repetição de mais de dois elementos do agrupamento. Acompanhe.

Exemplo: Eu tenho 4 quadrados azuis, 3 quadrados amarelos, 2 quadrados brancos e 1 quadrado verde. Quero utilizá-los em um jogo para formar colunas a partir desses quadrados. Quantas combinações seriam possíveis?

Nesse caso que tomamos como exemplo para o exercício, note que temos 10 quadrados de 4 cores diferentes. De acordo com essa repetição de cores, que agora são o nosso exemplo de elemento, devemos calcular P10(4, 3, 2). Portanto:

P10(4, 3, 2) = 10! => P10(4, 3, 2) = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4! => P10(4, 3, 2) = 12.600
_______ ____________________________
4!3!2! 4!3!2!

Resposta: Eu posso formar 12.600 combinações diferentes com os quadrados que tenho.

Outros exemplos possíveis de permutações que envolvem elementos repetidos

Exercício 1

Joana tem 2 camisas, 1 calça, 3 sapatos e 2 bolsas. Com essas roupas e acessórios, Joana quer saber quantas combinações pode fazer para montar um “look” diferente para cada dia.

Resolução:

Nesse caso, temos 8 elementos (n) de 4 categorias diferentes (camisa, calça, sapato e bolsa). Segundo a repetição de elementos, portanto, devemos calcular P8(2, 3, 2). Portanto:

P8(2, 3, 2) = 8! => P8(2, 3, 2) = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3! => P8(2, 3, 2) = 1.680
______ __________________________
2!3!2! 2!3!2!

Logo, podemos afirmar que, com as peças de roupa e acessórios que Joana tem, ela pode fazer 1.680 combinações diferentes para utilizar.

Exercício 2

Quantos anagramas são possíveis a partir dos elementos da palavra TRABALHADORES?

Resolução:

Como a palavra TRABALHADORES possui 12 elementos, mas dois deles são repetidos duas vezes cada (R e A), então, devemos calcular P12(2, 2):

P12(2, 2) = 12! => P12(2, 2) = 12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2! => P12(2, 2) = 119.750.400
______ ______________________________________________
2! 2! 2! 2!

Dessa forma, podemos afirmar que o número de anagramas que podemos desenvolver a partir dos elementos do agrupamento TRABALHADORES é igual a 119.750.400.

Exercício 3

Quantas palavras, com significado ou não, podem ser formadas a partir das letras de RALAR?

Resolução:

Como a palavra RALAR possui 5 elementos, mas dois deles se repetem duas vezes, então devemos calcular P5(2, 2):

P5(2, 2) = 5! => P5(2, 2) = 5 . 4 . 3 . 2! => P5(2, 2) = 30
______ _______________
2! 2! 2! 2!

Logo, podemos obter 30 anagramas a partir das letras do agrupamento RALAR.