Poliedros: Prismas, Paralelepípedo e Cubo


A civilização egípcia foi, sem dúvida, a que mais se destacou pelo uso da geometria. No entanto, a solução de um dos três grandes problemas matemáticos da Anti­guidade é atribuída aos gregos. Trata-se da duplicação do cubo. O problema consistia em obter uma solução ge­ométrica para determinar que valor deveria ser aumenta­do na medida da aresta de determinado cubo para que o novo sólido tivesse o dobro do volume do anterior.

Conta-se que o rei Minos mandou construir uma tum­ba cúbica para seu filho, mas, descontente com o resul­tado, ordenou a seus súditos que dobrassem o tamanho dela. Foi dobrada a medida do lado da tumba, o que re­sultou em um erro, segundo Eratóstenes (267-194 a.C.) observou na época, pois tal aumento implicou em au­mentar a área em quatro vezes e o volume em oito.

Poliedros

Outra história conta que os deuses amaldiçoaram o povo de Atenas e enviaram uma peste como castigo, que seria interrompida se o tamanho do altar cúbico do deus Apoio fosse dobrado. Foi então construído um novo al­tar, com as arestas medindo o dobro das antigas, mas como a exigência não havia sido cumprida, a peste con­tinuou. Segundo o Teorema de Pitágoras, um quadrado com o dobro da área de um quadrado dado é o quadrado sobre a diagonal.

Considerando-se um quadrado de lado unitário, o novo quadrado terá área 2. O problema, no entanto, está em dobrar o valor do volume e não o valor da área. Para tanto, deve-se ter um quadrado de lado v2, o que leva às soluções de equações cúbicas. A busca para soluções a esse problema levou os gregos a muitas ou­tras descobertas. Atribui-se a Arquitas de Tarento (428-365 a.C.) a descoberta dos incomensuráveis – nesse caso, a “\/2. Posteriormente, Menaecmus (380-320 a.C.) des­cobriu as cônicas e apresentou duas soluções: uma, en­volvendo a interseção de duas parábolas, e outra, a interseção de uma parábola e uma hipérbole.

Poliedros

São regiões do espaço delimitadas por polígonos pla­nos, de forma que cada um dos lados desses polígonos pertença a apenas dois dos polígonos formadores do só­lido poliédrico.
• Poliedro convexo: É aquele que tem todos os pontos do segmento de reta cujas extremidades pertencem ao poliedro.
• Poliedro côncavo ou não convexo: É aquele que não tem todos os pontos do segmento de reta cujas extremidades pertencem ao poliedro.

Prismas

Os primas podem ser considerados poliedros que possuem duas faces congruentes e parale­las (que são as bases) e com as faces restantes (que são as faces laterais) são paralelogramos.

Classificação dos prismas

Quanto à inclinação
• Prisma oblíquo: É aquele que apresenta as arestas laterais oblíquas aos planos das bases.
• Prisma reto: É aquele que apresenta as arestas laterais perpendi­culares aos planos das bases.
Nos casos apresentados,
•    au = aresta da base = lado da base
•    a( = aresta lateral
•    h = altura

Seções nos prismas

A interseção de um plano com o prisma é chamada de seção.
• Seção transversal: É aquela determinada por um plano paralelo à base. É equivalente à base.
• Seção reta: É aquela determinada por um plano perpendicular às arestas laterais. No prisma reto, a seção transversal e a reta são a mesma.

Área da base

A área da superfície da base é igual à área da super­fície da figura da base.

Quando o polígono da base for regular, o nome do prisma será acompanhado do termo regular:
•         prisma triangular regular (a base é um triân­gulo equilátero);
•         prisma quadrangular regular (a base é um quadrado);
•         prisma hexagonal regular (a base é um hexágono regular).

A seguir tem-se a representação dos quatro princi­pais casos:
prisma           prisma            prisma             prisma
triangular      triangular    quadrangular       hexagonal
reto            regular           regular            regular

Área lateral

A planificação de um prisma regular reto possibilita a percepção de que a medida da área da superfície late­ral é a soma das medidas das áreas das superfícies dos retângulos que formam as faces laterais. É importante analisar os três principais casos para melhor compreen­são do cálculo da área lateral.
Prisma triangular regular
Prisma quadrangular
Prisma hexagonal regular

Área total

A medida da área da superfície total é obtida pela soma das medidas das áreas das superfícies das bases com a medida da área da superfície lateral.

Volume

Para o cálculo do volume dos prismas, é necessário inicialmente compreender o Princípio de Cavalieri [Bo-naventura Cavalieri (1598-1647)]. Sólidos que têm suas bases num mesmo plano a e que são interceptados por um plano P, paralelo a a, determinando nos sólidos seções de mesma superfície (área), são sólidos de mesmo volume.

Dados alguns sólidos no plano, considera-se, no mesmo plano, um prisma reto de base quadrangular re­gular, com medida da área da superfície da base equiva­lente às medidas das áreas das superfícies das bases dos outros sólidos e altura do prisma equivalente à medida das alturas dos outros sólidos. Então, pelo Princípio de Cavalieri, todos eles têm o mesmo volume.

Sendo o volume do prisma reto de base quadrangu­lar regular obtido pelo produto da medida da área da superfície da base pela medida da altura, então o volume dos outros sólidos também podem ser obtidos da mesma forma.

Diagonal da base: Do triângulo TUX sobre a base, por Pitágoras, observa-se que d2 = a2 + b2

Diagonal do paralelepípedo: Do triângulo SUX, por Pitágoras, observa-se que D2 = d2 + c2. Como d2 = a2 + b2, então D2 = a2 + b2+ c2.

Paralelepípedo

São prismas cujas bases são paralelogramos. Podem ser oblíquos ou retos. Para o paralelepípedo retângulo, não se costu­ma pedir individualmente os valores das medidas da área de sua superfície da base ou da área de sua superfície lateral. Caso isso ocorra, basta cal­cular as medidas das áreas das superfícies dos re-tângulos em questão.

Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

O paralelepípedo retângulo é formado por pares de fa­ces com medidas da área de suas superfícies equivalentes. O paralelepípedo retângulo é o paralelepípedòxreto que tem três dimensões diferentes: comprimento (a), profundidade ou largura (b) e altura (c).

Volume do paralelepípedo

O volume de um paralelepípedo pode ser obtido por meio do produto da medida da área da superfície da base pela medida da altura:
V = S, • h -* V = a • b • c

Pode-se obter uma relação entre as medidas das dimensões de um paralelepípedo retângulo com as medidas de sua diagonal e sua área:
(a + b + c)2 = (a + b + c) • (a + b + c) = a2 + b2 +
(a + b + c)2 = D2 + St

Diagonal do cubo

Do triângulo SUX, por Pitágoras,
D2 = d2 + a2
Como  d2 = a2 + a2, então:
D2 = a2 + a2 + a2
D2 = 3a2
D= Vsã1
D = aV3

Área do cubo

Observa-se que o cubo é formado por seis faces qua­dradas. Por isso, a medida da área de sua superfície total pode ser obtida da seguinte forma:
St = 6 • área da superfície do quadrado: S = 6 • a2.

Observação

Para o cubo, não se costuma pedir individual­mente valores das medidas da área de sua superfí­cie da base ou da área de sua superfície lateral. Caso isso ocorra, basta calcular as medidas das áreas das superfícies dos quadrados em questão.

Volume do cubo

Sabe-se que o volume de um cubo pode ser obtido por meio do produto da medida da área da superfície da base pela medida da altura:

Cubo ou hexaedro regular

O cubo é o prisma reto que tem todas as faces qua­dradas.