Propriedades da Potenciação

As propriedades da potenciação são um dos assuntos mais recorrentes para quem está prestes a realizar o vestibular ou que está cursando o ensino médio. A matéria também é quase figurinha carimbada no Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), além de estar diretamente ligada a outras matérias, como física e química.

A potência nada mais é do que um número que revela a quantidade de vezes que o fator (o número que sofre a potenciação) será repetido. Por exemplo: 23. O número 2 é o fator e o número 3 a quantidade de fatores que o número terá (ou será repetido). Com isso, temos que o 2 elevado à 3ª potência é 2 x 2 x 2 = 8.

A essa demonstração nós chamamos Potência. Por isso, antes mesmo de saber mais sobre as propriedades da potenciação é preciso que fique claro que a potência é, portanto, a quantidade que o mesmo número será multiplicado.

Damos o nome de expoente à quantidade de vezes que o número será multiplicado; base ao número que será multiplicado, e potência o resultado dessa multiplicação.

Essa nomenclatura lhe ajudará a saber todas as propriedades da potenciação e identificar assim cada uma das áreas que serão mostradas a seguir.

As bases das potências e as propriedades de potenciação

Para falarmos de potência temos também que falar sobre suas bases. Entre elas estão as bases elevadas ao expoente par, ímpar, positivo, negativo, entre outros. Abaixo falaremos de cada uma delas, explicando de forma detalhada como funcionam essas propriedades.

Bases com expoente par: Essas bases são aquelas elevadas a um número inteiro e positivo, que resulta em uma potência sempre positiva. Como no caso de 2¬¬² = 2 x 2 = 4. O mesmo acontece com o número (-3)² = (-3) x (-3) = 9.

É preciso notar que mesmo as bases negativas, quando elevadas a um expoente par, ficam positivas. Isso faz com que muitas pessoas se confundam e acabem errando a questão por conta disso.

Bases com expoente ímpar: Já os números reais que são elevados a um expoente ímpar resultarão em uma potência que tenha o mesmo sinal que a sua base, diferente do que acontece com as bases que são exponenciadas com números pares.

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
(-2) 5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2)= -32

Isso acontece porque na hora da multiplicação dois sinais negativos se anulam, mas com um sinal negativo e um positivo, o que prevalece é o sinal negativo. Esse detalhe pode fazer com que você erre toda uma questão se não ficar atento.

Bases elevadas à expoente negativo: Quando a base é elevada a um expoente negativo é preciso que essa base seja invertida na hora de encontrar a potência. Dessa maneira conseguimos mudar o sinal do expoente para o negativo.
4 -2 = ( )2 = 1/16

Agora se número já for uma equação, basta invertê-la e multiplicar tanto o numerador quanto o denominador. Já os números inteiros deve-se sempre imaginar que o denominador é o número 1.
(2/3) -2 = (3/2) x (3/2) = 9/4

Vale lembrar também que se a equação puder ser simplificada antes da potenciação, ela pode ser feita, sendo o expoente positivo ou negativo. O que difere é que o expoente negativo inverte o denominado e o numerador.

(9/6) ² = (1/2)² = (1/2) x (1/2) = ¼

Multiplicação e divisão de potências de mesma base

Multiplicando as potências de mesma base: Para potências de bases iguais, é preciso que na hora da multiplicação, repita-se a base das potências e some os expoentes de cada um. Dessa maneira se obterá uma nova potência que será resolvida com algumas das características de potenciação já citadas.

(22)x (24) x (21) = 2 (2+4+1) = 2 7 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

Divisão de potências de mesma base: Nesses casos é preciso que as bases se mantenham repetidas e que os seus expoentes devem subtraídos, sempre do numerado pelo denominador. Como citaremos abaixo.

2 5 / 2³ = 2 (5-3) = 2² = 2 x 2 = 4

É preciso também levar em consideração outras propriedades da potenciação. Entre elas estão a potência de base 1, a potência elevado a zero, a multiplicação de potências de mesmo expoente e a divisão de potências de mesmo expoente, além da potência de um produto.

Nas potências de base um, não importa qual o valor que ela está elevado, o resultado será sempre 1, já que a multiplicação do número 1 é sempre ele mesmo.

Quando a elevação for em 0 a potência será sempre um, exceto quando a base também for 0. Por exemplo, 5 0 = 1. Para a potência de uma potência é preciso multiplicar os expoentes para depois termos a potência (22)0 = 2 (2 x0) = 2 0 = 1.

Se os expoentes forem os mesmos é preciso primeiro multiplicar as bases para depois resultar a potência. Exemplo 2³ x 1³ = (2 x 1)³ = 2³ = 2 x 2 x 2 = 8. O mesmo acontece na divisão de potências de mesmo expoente. Primeiro se divide o numerador e o denominado r para depois repetir o expoente.

Por último, com a potência de um produto é preciso que primeiro se resolva a potência para depois realizar o produto. Por exemplo, (2 x 5)² = 2 2 x 2 5 = 2 x 2 x 5 x 5 = 4 x 25 = 100.