Quadrado da soma
A matemática é uma área científica que constantemente apresenta novas formas de cálculos. O aparecimento de novas dúvidas e dilemas implica em estudos e pesquisas que buscam diferentes formas de resolução. O cálculo de raízes negativas, por exemplo, deu abertura para a criação de um novo conjunto de algarismos, os números complexos.
No entanto, da mesma forma que a matemática apresenta novas constatações, algumas formas de cálculos aparecem frequentemente em operações matemáticas. Por esse motivo, a dedução por meio de fórmulas é uma maneira de tornar a resolução de cálculos mais rápida e eficiente.
Chamamos de produtos notáveis as operações algébricas que possuem uma determinada frequência e regularidade na resolução de cálculos. A presença destes produtos implica em resoluções mais práticas, uma vez que propõe formas de resolução que agilizam o processo de obtenção de um resultado. O método também é eficiente para o aprendizado de cálculos matemáticos e, principalmente, para aplicações práticas que demandam de resultados rápidos.
Apesar da utilização do método, os produtos notáveis também podem ser solucionados de modo tradicional. Para o aprendizado, é bastante importante conhecer os dois procedimentos. A utilização de formas mais práticas de resolução consiste em um método de aceleramento, com uma grande relevância nos procedimentos matemáticos. Vamos conhecer um pouco sobre a história dos produtos notáveis.
Como surgiram os produtos notáveis?
A utilização de procedimentos semelhantes aos produtos notáveis teve seu início na Grécia antiga, quando operações algébricas frequentes ganhavam fórmulas generalizadas para tornar a sua resolução mais rápida. O método, no entanto, ainda não era sistematizado e reconhecido. Tratavam-se apensas de um procedimento utilizado de forma corriqueira.
A atribuição dos produtos notáveis, entretanto, é amplamente dedicada a Pitágoras e seus seguidores, devido a utilização majoritária do método por esta classe. Algumas obras, como “Elementos” de Euclides de Alexandria, classificam o tema como uma forma de representação geométrica.
Quadrado da soma
Agora que já conhecemos a definição e história dos produtos notáveis, é o momento de falar de uma operação algébrica de notabilidade em toda a matemática. O quadrado da soma consiste na multiplicação ao quadrado de uma operação de adição com dois termos.
Ex: (a + b)²
Com os termos “a” e “b”, desmembramos a operação para torná-la mais evidente. Confira:
(a + b)² = (a + b). (a + b)
Para desenvolver o cálculo de acordo com as regras matemáticas já estabelecidas, a operação seria aplicada da seguinte maneira:
(a + b)² = (a + b) . (a + b)
(a + b) . (a + b) = a² + ab + ab + b²
a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Logo:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
O resultado final consiste em uma generalização utilizada pelos produtos notáveis para a resolução mais rápida do quadrado da soma, uma vez que o desenvolvimento do cálculo de forma isolada levará a uma resolução com os mesmos termos e operações do produto notável.
No caso do quadrado da soma, a adição de dois termos ao quadrado assume este tipo de resolução porque os termos são multiplicados separadamente e individualmente. Logo, para efetuar o cálculo do quadrado da soma basta utilizar:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Quadrado da soma e quadrado da diferença
Enquanto o quadrado da soma se trata de uma adição de dois termos elevada ao quadrado, o quadrado da diferença se trata de uma subtração de dois termos elevada ao quadrado. Confira o exemplo.
(a – b)²
A resolução do quadrado da diferença se assemelha ao quadrado da soma e também é considerado um produto notável. Para solucionar o quadrado da diferença de acordo com as regras matemáticas, confira as operações abaixo.
(a – b)² = (a – b) . (a – b)
(a – b) . (a – b) = a² – ab – ab – b²
a² – ab – ab – b² = a² – 2ab – b²
Logo:
(a- b)² = a² – 2ab – b²
Portanto, o quadrado da diferença também pode ser solucionado por meio do produto notável, utilizando uma generalização semelhante ao quadrado da soma. Nos dois casos, ambos os termos são elevados ao quadrado, multiplicados entre si e adicionados ou subtraídos. A única diferença entre os dois cálculos consiste nos sinais de operação. Confira:
Quadrado da soma: (a+b)² = a² + 2ab + b²
Quadrado da diferença: (a- b)² = a² – 2ab – b²
Produto da soma pela diferença
Quando duas operações são multiplicadas com os mesmos termos e sinais, a operação é considerada uma multiplicação ao quadrado. No entanto, quando os sinais são diferentes, mesmo que os termos se mantenham os mesmos, a resolução é realizada por meio de multiplicação direta. Ainda assim, o método de produtos notáveis pode ser realizado. Confira:
(a + b) . (a – b) = a² – ab + ab – b²
(a + b) . (a – b) = a² – b²
Por isso, o produto da soma pela diferença dos termos consiste no termo “a” ao quadrado menos o termo “b” ao quadrado. Assim, a utilização do produto notável leva a uma fórmula direta.