Regra de Chió nos cálculos dos determinantes

A matriz é uma tabela em formato de um quadro, composto de linhas (m) e colunas (n) sobre um conjunto, e são usadas para resolver equações lineares. Quando as matrizes possuem a mesma quantidade de elementos, podem ser somados e subtraídos.

O determinante da matriz é um número que é associado a uma matriz quadrada de qualquer ordem. São utilizados diversos métodos que podem calcular o determinante da matriz, dentre eles a Regra de Sarrus e o Teorema de Laplace.

Já para utilizar a Regra de Chió, baseada no Teorema de Jacobi, é fundamental que a11 seja igual a 1, onde se chega a uma ordem menor que a original. Sem esse determinante, ela não pode ser utilizada.

Como fazer o cálculo

A Regra de Chió calcula o determinante da matriz de uma ordem n, apenas utilizando a menor como ordem n-1. O elemento a11 precisa ser igual a 1 e dessa forma, a primeira linha da matriz e a última precisam ser eliminadas.

Do que restou, diminua os dois números suprimidos, um da linha e outro da coluna, para saber qual o número que corresponde adiante. Como os resultados, cria-se uma nova matriz com ordem menor, mas determinante idêntico a matriz original anterior. Para compreender melhor um cálculo:

Matriz quadrada de ordem n com a11=1:
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
a31 a32 a33 … a3n
. . . . .
. . . . .
. . . . .
an1 an2 an3 … ann

Para um determinante de matriz de ordem n ´- 1:

a22 – (a12 . a21) a23 – (a13 . a21) … a2n – (a1n . a21)
a32 – (a12 . a31) a33 – (a13 . a31) … a3n – (a1n . a31)
. . . .
An2- (a12 . an21) an3 – (a12 . an1) … ann – (a1n . an1)

Esse tipo de cálculo é o mais fácil para encontrar o determinante de matriz, mas isso só acontece se for utilizado o elemento a11 da matriz igual a 1. Porém, quando o elemento a11 for diferente de 1, mas exista algum outro elemento da matriz com esse valor, as colunas e linhas podem ter a posição de duas filas alterada. Quando essa troca é feita, o determinante da matriz será o oposto da matriz anterior e não seu igual, já que terá o sinal de oposto.

Exercícios de Compreensão

No exemplo de uma matriz A4x4:

1 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44

Agora é multiplicar a coluna 1 por a12 e subtrair o resultado da coluna 2 para que a12 passe a ser nulo:

1 a12-a12 a13 a14 1 0 a13 a14
a21 a22-a21 a23 a24 a21 a22-a21.a12 a23 a24
a31 a32-a31 a33 a34 a31 a32-a31.a12 a33 a34
a41 a42-a41 a43 a44 a41 a42-a41.a12 a43 a44

Ao repetir a ação ocorrerá:

1 0 0 0
a21 a22-a21.a12 a23-a21.a13 a24-a21.a14
a31 a32-a31.a12 a33-a31.a13 a34-a31.a14
a41 a42-a41.a12 a43-a41.a13 a44-a41.a14
Outro exemplo de utilização da Regra de Chió:

Quando a11 é igual a 1, serão supridos a primeira coluna 1,1,0,1,0 e a primeira linha 1,2,5,3,2:

1 2 5 3 2
1 3 7 3 4
A= 0 5 2 2 1
1 3 0 1 2
0 6 7 4 7

Depois dos números supridos, a nova matriz menor fica assim:

3 – 1.2 7 – 1.5 3 – 1.3 4 – 1.2
5 – 0,2 2 – 0,5 2 – 0,3 1 – 0,2
A4x4= 3 – 1,2 0 – 1,5 1 – 1,3 2 – 1,2
6 – 0,2 7 – 0,5 4 – 0,3 7 – 0,2

Mais uma matriz para suprir os números da primeira coluna e linha (1, 5,1, 6 e 1,2,0,2)

1 2 0 2
5 2 2 1
A4x4= 1 -5 -2 0
6 7 4 7

Com os números supridos, uma nova matriz:

2 – 5,2 2 – 5,0 1 – 5,2
A3x3 -5 – 1,2 -2 – 1,0 0 – 1,2
7 – 6,2 4 – 6,0 7 – 6,2

Na matriz abaixo, não é possível utilizar a Regra de Chió por ser de ordem 3. O indicado é a Regra de Sarrus.

-8 2 -9
A3X3= -7 -2 -2
-5 4 -5

Que terá como resultado uma matriz inicial de A5x5. Isso exemplifica que nenhuma matriz em outras regras se torna igual, apenas a de Chió é possível afirmar que o determinante de todas as que surgirem será sempre o mesmo.

det a3x3 = 148
det a5x5 = det a4x4 = det a3x3 = 148

Exemplo de quando a11 não é 1 e colunas e linhas podem ser trocadas para a44 = 1 e utilizar a Regra de Chió.

-2 -1 0 3 3 -1 0 -2
3 2 1 0 0 2 1 3
4 0 2 3 = – 3 0 2 4 = –
-2 2 0 1 1 2 0 -2
1 2 0 -2
0 2 1 3
3 0 2 4
3 -1 0 -2

Mesmo com duas trocas, o sinal do determinante não se alterou.