Sistema de Equações Lineares: Solução do Sistema e da Equação Linear


A teoria que envolve sistemas de equações lineares representa uma parte significativa das aplicações de ál­gebra linear, como a determinação de base para um es­paço vetorial, núcleo de uma transformação linear. Gauss, chamado de príncipe dos matemáticos, também desen­volveu estudos nessa área de conhecimentos, envolven­do sistemas de equações lineares.

Ao se analisar posições de retas no plano ou no es­paço, interpreta-se, de forma concreta, a condição de um sistema de equações lineares ter ou não solução e, no caso de existir solução, se ela é única ou há infinitas soluções. A seguir, tem-se um exemplo de aplicação prática de sistemas de equações lineares e a solução do sistema apresenta a resposta desejada.

Sistema de Equações Lineares

Em uma pastelaria, dois irmãos foram comer pastéis de carne e tomar suco de laranja. Um dos irmãos, mais guloso, comeu três pastéis e bebeu dois copos de suco de laranja, gastando um total de R$ 8,50. O outro comeu dois pastéis e bebeu um copo de suco de laranja, gastando um total de R$ 5,00. Calcule o preço unitário do pastel e do copo de suco de laranja.

Solução do problema: Seja pastel representado pela letra x e copo de suco de laranja pela letra y.
lº irmão: 3x + 2y = 8,50
2º irmão: 2x +  y =   5,00

A solução desse sistema de equações lineares indica o preço de cada pastel e de cada copo suco de laranja. Isolando-se y na segunda equação: y = 5,00 – 2x e, substituindo-se na primeira equação, tem-se: 3x + 2 • (5,00 – 2x) = 8,50 => 3x + 10,00 – 4x = 8,50 ==> -x = 8,50 – 10,00 = -1,50 => x = 1,50.

Substituindo-se x = 1,50 em y = 5,00 – 2x: y = 5,00 – 2 • (1,50) = 5,00 – 3,00 = 2,00. Então, o preço de cada pastel é R$ 1,50, e de cada
copo de suco de laranja R$ 2,00.

Toda equação que pode ser reduzida à forma a, • x, + + a2 • x2 + a3 • x3 + … an • xn = b é denominada equação linear. Nela,
•         xp x2, x3, …, xn são as incógnitas;
•         os números reais a,, a2, a3, …, an são os coefi­cientes da equação;
•         o número real b é o termo independente.

É importante observar que numa equação linear os expoentes das incógnitas são todos iguais a 1. Exemplos de equações lineares:
•         x – 2y + 3z = 5, em que termo independente: 5 e coeficientes: 2; -l
•         2x – y = O, em que termo independente: O

Solução de uma equação linear

Uma sequência, ou n-upla (lê-se ênupla), ordenada de números reais (a,, a2, a3, …, an) é uma solução da equação linear al • x, + a2 • x2 + .”. + an • xn = b se a sentença a, • a, + a2 • a2 + … + an • ocn = b é verdadeira.

Exemplo: Considere a equação linear x + 2y = 8.
Para x = Oey = 4=>0 + 2-4 = 8é verdadeiro. Logo, o par ordenado (O, 4) é solução da equação linear.
Para x=ley = 2=>l+2-2 = 8é falso. Logo, o par ordenado (1,2) não é solução da equa­ção linear.

Sistema de equações lineares

Denomina-se sistema linear todo sistema formado por equações lineares. Exemplos:

•     O sistema linear é formado por 2 equações lineares e 3 incógnitas.
x + y – 2z = 10
x + y – z = -2

• O sistema linear é formado por 3 equações lineares e 3 incógnitas.
x-y + z = 0
2x – y – z = -3

Solução de um sistema linear

Uma dupla ordenada (ap a2, … , otn) é uma solução de sistema linear com n incógnitas se ela é solução de todas as equações lineares desse sistema.
Exemplo: O par ordenado (l, 2) é solução do sistema linear
x – 2 • 2 = -3   (V) x + 2 = 3   (V)
porque
x – 2y = -3 x + y = 3
isto é, o par ordenado dado satisfaz todas as equa­ções lineares dadas.

Sistema linear homogêneo

Se todos os termos independentes de um sistema li­near forem nulos, o sistema é denominado homogêneo e a dupla (O, O, …, 0) é uma solução desse sistema. Essa dupla é denominada solução trivial ou solução nula. Exemplo:

x + y – z = O x – y + z = O  é homogêneo e a tripla 4x + 2y – z = O
ordenada (O, O, 0) é uma solução porque
[O + O – O = O (V) O – O + 2 • O = O (V) [4 • O + 2 • O – O = O (V)

Classificação de um sistema linear

A classificação de um sistema linear é feita em fun­ção do número de soluções que ele admite, da seguinte maneira:
determinado: solução única Possível
indeterminado: infinitas soluções Impossível: não tem solução

Sistema linear com duas equações e duas incógnitas

ax + by = c, nas variáveis x e y, com dx + ey = f

Sistema linear com três equações e três incógnitas

ax + by + cz = d ex + fy + gz = h , ix + jy + kz = t
abe e f g i j k
nas variáveis x, y e z, com A =
Faz-se

Teorema de Cramer [Gabriel Cramer (1704-1752)]

Um sistema linear com n equações e n incógnitas é possível e determinado, isto é, possui solução única, quando o determinante dos coeficientes das equações li­neares for não-nulo. Assim: ax + by = c dx + ey = f
será possível e determinado (solução única)
ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + kz = i

Discussão de um sistema linear de duas equações com duas incógnitas

Quando um sistema linear apresentar duas equações com duas incógnitas, deve-se examinar o valor do deter­minante dos coeficientes (A).
Se
A * O => sistema possível determinado
A = O => sistema possível indeterminado ou sistema impossível
Quando A = O e o sistema for do tipo
ax + by = k—x.
>—>• equações iguais
ax + by = k
então ele é possível e indeterminado, isto é, possui infi­nitas soluções.

Quando A = O e o sistema for do tipo
ax + by = kj
(k, * k2)
ax + by = k2 então ele é impossível, isto é, não possui solução.

Discussão de um sistema linear com três equações e três incógnitas
Seja o sistema linear ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + kz = e
• Se A * O =» sistema possível determinado, isto é, o sistema tem solução única (Teorema de Cramer).
• Se A = O =» sistema possível indeterminado (infinitas soluções) ou sistema impossível (não possui solução).

Para o caso A = O, o mais conveniente é isolar uma das incógnitas de uma das equações dadas e substituí-la nas outras. Ter-se-á, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, o que já foi estudado.

Substituindo a = -10 no sistema dado:
x + y + 5z = b
-2x – 2y – lOz = 6 : (~2) > x + y + 5z = -3
2x + 3y – 4z = l
x + y + 5z = b — * x = b – y – 5z (I) x + y + 5z = -3 (II) 2x + 3y – 4z = l (III)

Substituindo (I) em (II) e (III):
(b – y – 5z) + y + 5z = -3
2 -(b – y – 5z) + 3y – 4y = l Reduzindo os termos semelhantes:
b = -3 (IV)
y – 14z = l – 2b (V)
Substituindo (IV) em (V):
{y – 14z = 7 => indeterminado (infinitas soluções)

Resumo da discussão:
• a*-10ebeIR=> sistema possível e determi­nado (solução única);
• a = -10eb = -3=> sistema possível e indetermi­nado (infinitas soluções);
• a = -10eb*-3=> sistema impossível (não tem solução).