Sistemas Lineares: Conceitos, Resolução e Regra de Cramer

Para entender o conceito de sistemas lineares, é necessário apresentar inicialmente o significado de uma equação linear. É aquela que possui a forma:

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b

Sendo que os termos a1, a2, a3 e sucessivos são números reais e b é um termo independente. Se o valor de b for igual a 0, essa equação é chamada de linear homogênea.

Os sistemas lineares são um conjunto de equações lineares, que podem ter m equações e n incógnitas. A solução de um sistema é a solução de todas as equações presentes no sistema.

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b
a11x12 + a21x21 + … + an1xn1 = c
a12x12 + a22x22 + … + an2xn2 = d

Os sistemas lineares são classificados de acordo com o número de soluções que apresentam. Assim, podem ter três definições:

– Sistema Possível e Determinado (SPD): possui apenas uma solução;
– Sistema Possível e Indeterminado (SPI): possui infinitas soluções;
– Sistema Impossível (SI): não possui solução.

1 Resolução

Uma das formas de resolução mais simples para sistemas lineares é o escalonamento. É uma forma de encontrar as soluções transformando este em outro equivalente, mas com uma resolução mais fácil. Pode-se escalonar da seguinte forma:

I. Some ou subtraia uma equação pela outra;
II. Multiplique uma das equações inteira por um número real que não seja 0;
III. Troque duas equações de posições entre si;
IV. Multiplique uma das equações por um número real. Depois, some ou subtraia a outra;
V. Divida uma equação inteira por um número real diferente de 0.

2 Regra de Cramer

A Regra de Cramer foi desenvolvida pelo matemático suíço Gabriel Cramer (1704-1752) para a resolução de sistemas possíveis e determinados (SPD). Esse método pode ser aplicado com os seguintes passos:

A. Para calcular o determinante principal, é necessário formar uma matriz com os coeficientes das variáveis do sistema apresentado;

B. Para calcular os determinantes secundários, faça a substituição das colunas das variáveis pela coluna do termo independente;

C. Obtemos as soluções para o sistema pela fórmula.