Produto do Tipo: (x + a) * (x + b)

A matemática não é uma área do conhecimento composta apenas de números. Letras também estão presentes em muitas situações. As expressões algébricas frequentemente são formuladas através de letras e números. As letras constituem uma parte variável das expressões, uma vez que qualquer número pode representá-las, desde que seja o valor necessário para a sua solução.

Álgebra antes da fatoração

A literatura concebe a álgebra como o ramo científico que calcula as grandezas abstratas, sendo representadas por letras. Considera-se o estudo algébrico como uma extensão da aritmética. Esta, por sua vez, é o fragmento da ciência exata que foi concebida para o estudo numérico, sendo por ela realizadas as operações numéricas, conhecidas por muitos pelas famosas operações básicas como a soma, subtração, multiplicação e divisão.

O desenvolvimento da álgebra ocorreu por meio dos gregos, porém foi amplamente utilizada pelos árabes. Por parte dos gregos, o denominado pai de álgebra foi Diofanto de Alexandria. Antes de desenvolver o método por símbolos de resolução matemática de expressões, cujos símbolos equivaleriam a valores – porém desconhecidos –, os conhecedores da área se valiam de palavras totalmente escritas. Diofanto teve a ideia de que as palavras poderiam ser substituídas por formas abreviadas, as conhecidas letras.

Sem a álgebra não seria possível estudar leis e processos formais de operações com entidades abstratas, como a expressão produto do tipo: (x + a) * (x + b); em que x representa um valor; a, por sua vez, está caracterizada por outro valor; e, por fim, b que assume valor diferente dos anteriores, no entanto todas elas sendo desconhecidas, que veremos em detalhes a importância de saber resolvê-la, mais adiante.

O nascimento de Diofanto ocorreu, por volta do século III depois de Cristo. Entre suas publicações, uma das mais importantes foi Aritmética. Já sobre os árabes, Al-Khowarizmi (800 d.C.), desenvolveu a obra Al-Jabr, que foi muito importante na região europeia, sendo transformada em Algebrae, do latim, que é algo como a reunião de partes quebradas.

Da álgebra para a fatoração em produtos notáveis

Que a álgebra foi um processo de transformação importante para a matemática atual não há dúvidas, pois a fatoração, por exemplo, está diretamente ligada àquela, sendo componente importante para se chegar a possíveis soluções de expressões como produto do tipo: (x + a) * (x + b).

O desenvolvimento da fatoração ocorreu na Europa, entre os séculos XVI e XVII. Esse período se tornou importante em função Renascimento europeu. Com isso, o estudo de equações polinomiais se deu principalmente por meio de François Vièti, matemático da França de grande importância para álgebra.

A ferramenta como a fatoração serve para decompor os elementos que integram um produto, ou seja, para o resultado de uma multiplicação há os números que o representam, esses são os fatores.

Sem os fatores não é possível chegar a um resultado para uma multiplicação e todo fator precisa ser igual ou maior do que 1. Portanto, para a expressão em que o produto do tipo: (x + a) * (x + b) deve ter em seus elementos números iguais ou superiores a 1.

Os polinômios podem ser definidos de diversas maneiras dentro da área matemática. Tratando-se de álgebra, eles ora apresentam um termo, ora uma infinidade de termos são apresentados, porém são de grande importância para os produtos notáveis.
A definição dos produtos notáveis ocorre por meio da frequência com que determinados produtos aparecem entre polinômios, fazendo com que os resultados sejam chamados de produtos notáveis.

Elementos que constituem os produtos notáveis

Alguns dos produtos notáveis mais abordados nas escolas de ensino fundamental brasileiras são as seguintes:

• Quadrado da soma entre dois termos: (a + b)2;
• Quadrado da diferença entre dois termos: (a – b)2;
• Produto da soma pela diferença entre dois termos: (a + b)*(a – b);

Os exemplos acima são considerados como trinômios dos quadrados perfeitos. Esses, dentro do cálculo envolvendo álgebra, são como o terceiro caso de fatoração. Considera-se como trinômio as expressões algébricas que contenham polinômios com três monômios, em que eles, juntos, formam um quadrado perfeito.

Se pegarmos o primeiro exemplo, que é o quadrado da soma entre dois termos (a + b)2, verifica-se que a regra se aplica:

(a + b)2 = (a + b)*(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Em uma expressão cujos termos são o quadrado da soma se observa pelas suas extremidades que os elementos estão elevados ao quadrado, permitindo assim que seja realizado trinômio quadrado perfeito que é a2 + 2ab + b2.

Trinômio que não é perfeito

No caso do produto do tipo: (x + a) * (x + b) a regra do trinômio do quadrado perfeito não se aplica, pois suas extremidades não estão elevadas ao quadrado como se verifica:

(x + a) * (x + b) = x2 + xb + ax + ab

Apenas o primeiro termo está elevado ao quadrado, os demais não. Logo a expressão produto do tipo: (x + a) * (x + b) configura como trinômio não perfeito.