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O ponto inicial das ciências exatas, a matemática é fundamental na sociedade. Assista aqui diversas aulas, além de poder realizar atividades e exercícios de Matemática

Sólidos platônicos

Dentro do mundo da matemática existe a geometria, responsável pelo estudo do espaço e das figuras que o ocupam. Para muitas pessoas, a matemática se resume a números, porém Platão já pensava diferente. Enquanto a escola Pitagórica levava como lema a ideia de “tudo são números”, a famosa Academia (escola fundada por Platão) já deixava um recado em sua porta: “Que ninguém que ignore a geometria entre”.

Sólidos platônicos

Não é a toa que um dos elementos da geometria são os sólidos platônicos. Esses são convexos, em que suas arestas dão forma a polígonos planos, regulares e congruentes. Esses sólidos possuem essa nomenclatura graças a Platão, responsável pela sua descoberta (400 a.C.).

Vale destacar que existem apenas cinco sólidos que conseguem reunir essas condições (todas as faces como polígonos regulares):
• Tetraedro: poliedro regular que possui quatro faces (triângulos equiláteros), quatro vértices e seis arestas. Pode formar-se a partir da junção de quatro triângulos.
• Hexaedro (cubo): possui seis faces (quadrados), oito vértices e duas arestas. O cubo forma-se a partir de um molde que contenha seis quadrados.
• Octaedro: é um poliedro regular com oito faces (triângulos equiláteros), com seis vértices e 12 arestas. Pode ser formado através da junção de oito triângulos equiláteros.
• Dodecaedro: possui 12 faces (pentágonos), 20 vértices e 30 arestas. Esse poliedro regular pode ser formado a partir de 20 pentágonos.
• Icosaedro: poliedro regular que possui 20 faces (triângulos equiláteros), 12 vértices e 30 arestas. O icosaedro forma-se de um molde de 20 triângulos equiláteros.

Platão e os sólidos platônicos

Platão era um matemático que apreciava tanto os conhecimentos geométricos que afirmava com segurança e propriedade que a geometria tinha a posse da chave que desvendava todos os segredos presentes por trás do universo. Não é a toa que ele estabeleceu relações entre os poliedros e o Universo. Uma delas foi a associação do cubo, icosaedro, tetraedro e octaedro (respectivamente) com os elementos terra, água, fogo e ar. A maior dificuldade foi em relacionar o dodecaedro, que mais tarde ficou responsável pelo próprio Universo.

O entusiasmo do povo antigo com a geometria fez com que os sólidos platônicos tivessem grande peso e importância no universo. Acreditava-se que toda a matéria era formada através dos sólidos platônicos, assim como acreditamos que a matéria seja feita através das combinações de átomos.

Relação de Euler e os sólidos platônicos

Aqueles que seguiam a linha de Pitágoras tinham ciência da existência de apenas cinco sólidos regulares convexos, e também que cada um podia ser delineado de maneira rigorosa por uma esfera. Euclides descreveu esses sólidos no seu livro Elementos (parte XIII, proposição 13 à proposição 17), descrevendo o argumento de que apenas esses são os sólidos regulares. Já o matemático Euler montou uma demonstração desse resultado.

Segundo ele, o número de vértices, arestas e faces obedecem a seguinte relação: V−A F=2. Aqui V equivale ao número de vértices da figura, enquanto A faz menção ao número de arestas e F significa o número de faces. Dessa maneira temos a Relação de Euler. Vale destacar que a constante 2 irá depender sempre da forma do espaço topológico.

Fazendo uma ligação dos centros das faces adjacentes dos sólidos platônicos é possível obter outro sólido (porém de tamanho menor), que também será considerado sólido platônico. Esse sólido resultante, obtido a partir do inicial, podemos nomear como sólido dual.

Sólidos platônicos presentes na natureza

Como já dito anteriormente, a existência dos sólidos platônicos já era de conhecimento dos pitagóricos. Dessa maneira, os egípcios tiveram a brilhante ideia de utilizar de alguns elementos sólidos platônicos em sua arquitetura e também em outros objetos construídos por eles.

Estes sólidos também se fazem presentes na natureza (através de pedras preciosas, organismos vivos, etc.) e também na cultura humana (artes como pinturas, esculturas, arquitetura, etc.). Quando presentes na arquitetura, esses sólidos platônicos são encontrados graças a sua simetria e beleza, o que faz com que seja estimulado o interesse do ser humano, não somente hoje como através dos séculos. Muitas são as formas cristalinas naturais dos sólidos platônicos. Como exemplo, trazemos a calcopirita (tetraedro), galena (hexaedro) e da magnetita (octaedro).

Na área da saúde também é possível identificarmos exemplos de sólidos platônicos. Diversos vírus, como o da herpes, conseguem assumir a forma de um icosaedro regular. Isso é explicado por conta das estruturas virais serem formadas por diversas subunidades proteicas (iguais e similares), sendo o icosaedro a forma mais simples de originar essas subunidades. Faz-se uso de um poliedro regular por conta dele poder ser construído de uma unidade proteica básica, sendo repetido diversas vezes. Isso traz economia ao espaço no genoma viral.

Na meteorologia e climatologia é possível encontrar modelos numéricos globais do fluxo atmosférico que utilizam malhas com referências em um icosaedro (refinado por subdivisão). Esses têm se destacado diante dos modelos que fazem utilização das coordenadas de longitude e latitude.

Mercados financeiros

Mercado financeiro é definido como um local de comércio de valores como ações, títulos, ouro, moedas estrangeiras e produtos agrícolas. São feitas negociações cujo resultado pode influenciar a economia de um país e até mesmo o mundo, como em casos lendários como a Grande Depressão causada pelo crash da bolsa americana de 1929.

Mercados financeiros

Há agentes presentes para fiscalizar as transações, que geralmente envolvem diversas instituições e valores financeiros de grande volume. Mas é o investidor a figura mais importante do mercado financeiro, já que é ele quem possui o dinheiro que será investido visando sua multiplicação, fazendo o ciclo de compra e venda permanecer intenso.

Como funciona o mercado financeiro

O dinheiro que o investidor tem disponível é destinado a algum tipo de aplicação e há vários caminhos dos mais seguros aos de risco, cuja variação é a porcentagem que o investidor pode ter de retorno e até mesmo as chances de perder o que foi depositado. Mesmo que o mercado financeiro tenha diretrizes capazes de nortear os investidores, está vulnerável as oscilações econômicas e pode surpreender até mesmo os mais atentos corretores.

Há no mercado financeiro entidades e operações de ativos de diferentes graus de liquidez que envolve patrimônios, dívidas e títulos representativos do tesouro. No mercado financeiro há duas vertentes que são do mercado de crédito e mercado de capitais. No mercado de crédito há operações de curto e médio prazo destinadas a financiamentos e capital de giro de empresas, com recursos dos bancos e instituições financeiras. Já no mercado de capitais as operações são de médio a longo prazo e direcionadas pelos investimentos de capital fixo, sendo a base das economias.

As negociações no mercado financeiro são realizadas pelos investidores e pelos tornadores de recursos, podendo ser feitas por empresas e intermediada por instituições financeiras autorizadas pelo Banco Central. De instituições financeiras intermediárias estão as corretores, bancos e financeiras, que atuam nas operações, cobrando taxas que oscilam de valor entre cada uma e recebidas sobre o montante das operações realizadas. Dos produtos que são negociados pelas instituições financeiras estão as ações, seguros de vida, fundos de investimento imobiliário, títulos públicos entre outros.

Há mercados financeiros gerais, onde são disponibilizados vários produtos diferentes, e há o mercado especializado, focado em apenas um tipo de mercadoria para ser negociada. São quatro as especializações: o câmbio, monetário, aberto e crédito.

O mercado cambial movimenta moedas estrangeiras, especialmente o dólar e o euro. O mercado monetário age em operações de curto e curtíssimo prazo, permitindo uma movimentação grande e que dá novo fôlego as instituições financeiras. O mercado de crédito oxigena pessoas e empresas em curto à médio prazo, através de empréstimos bancários e cheque especial, com juros bastante elevados.

O mercado de ações, que simbolicamente mais representa o que é um mercado financeiro, atua em empresas de capital aberto e que disponibilizam cotas onde os investidores podem ser sócios e fazer parte dos seus lucros e prejuízos. As ações são comercializadas em bolsas de valores e o preço é bastante variável e que pode ser alterado radicalmente em poucas horas, especialmente baseado na oferta e demanda.

A influencia do mercado financeiro entre os países

O mercado financeiro é a vitrine econômica de um país. Até pouco tempo ele se limitava a relacionar o crescimento, desemprego e inflação da economia, mas atualmente ele é um grande indicador político e capaz de nortear eleições, mesmo que paises em desenvolvimento ainda não tenham incorporaram completamente o impacto econômico.

Mas independente do regime político vigente no país, seja ele capitalista, comunista ou socialista, a atuação do mercado financeiro é neoliberal econômico. Seu lema é produzir, produzir e produzir aliado ao consumir, consumir e consumir, para que não haja estoque e conseqüente prejuízo. O incentivo ao consumo vem de produtos com menor durabilidade e que possa manter o ciclo fluindo ativamente.

Mas se não há renda, não há progressão de consumo. E essa máquina precisa apresentar harmonia nas suas engrenagens de capital, trabalho e mercado financeiro, para que possa continuar gerando riquezas, produção, consumo, produção e consumo. Essa harmonização de capital com lucro, trabalho com renda e mercado financeiro sem juros é considerada uma utopia, mas na prática trata-se mais de uma bomba prestes a explodir com mais ou menor rapidez.

O mercado varejista está especialmente muito competitivo, fazendo com que os operadores façam reflexões e análises rotineiras para que possam tomar decisões imediatas e com menor chance de erros.

A última crise mundial em 2008 teve efeito cascata nos mercados financeiros mundiais e o Brasil foi um dos que sentiram muito sua influencia. No início, medidas foram tomadas para reaquecer o mercado brasileiro, aumentando o poder aquisitivo da população, elevando as classes e subindo os índices de consumo. Até chegar um momento onde não foi possível manter esse ritmo e os juros subiram assim como os índices de desemprego e renda.

Sua energia gira em torno daqueles que possuem renda superior a disposição em gastar e aqueles que querem ou precisam gastar mais do que o que têm. Dessa forma há uma transferência de fundos do que é investido para o que é emprestado com juros, permitindo que haja oportunidades variáveis de ganhos até mesmo em pessoas com poucos recursos para investir.

A máquina que movimenta o mercado financeiro é fundamental para a formação tecnológica e econômica do país, inclusive fomentando a valorização ou desvalorização da moeda.

Potenciação de monômio

A matemática é considerada como a única linguagem universal existente no mundo, afinal em qualquer lugar o resultado da operação de adição 2 + 2 será igual ao número 4. No entanto, mesmo diante disso, o que se observa na prática é que se trata de uma disciplina com os conteúdos mais temidos dentre a maioria dos estudantes.potenciacao-de-monomio

Esse temor da matemática tem diversas origens. Como exemplo, é possível citar a falta de didática advinda da má formação de professores da área, falta de recursos didáticos que tornem o processo de aprendizado estimulante para o aluno, materiais didáticos com baixa qualidade e a lista continua.

No entanto, como é do conhecimento de quase todos, a matemática é uma ciência lógica, ou seja, segue o fluxo do pensamento humano, e por isso não deve ser temida, pois com um pouco de dedicação e principalmente prática para verdadeiramente assimilar os conteúdos ensinados, é possível tirar de letra a grande maioria dos conteúdos previstos nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática das séries do ensino fundamental e ensino médio. Este é o caso do principal tópico de interesse deste artigo: a potenciação de monômio.

Dito de maneira simples, os monômios podem ser entendidos como expressões algébricas – entendidas como aquelas que possuem ao menos três requisitos básicos: números conhecidos, como 1 e 2, números desconhecidos, geralmente representados por letras como x e y, e operações com esses números. Isso significa que é possível realizar todas as operações matemáticas com os monômios, como adição, subtração, divisão, multiplicação e, claro, potenciação.

Vale lembrar que a potenciação, ou seja, elevar um número conhecido ou desconhecido a determinada potência, é uma operação que tem relação direta com a multiplicação, e por isso ao realizar a potenciação de monômio, as propriedades da multiplicação são preservadas. Para maior clareza, elas serão relembradas na sequência.

Propriedades da multiplicação

A multiplicação obedece a quatro grandes propriedades que devem estar muito bem fixadas, pois o resultado correto da potenciação de monômios depende diretamente da correta aplicação dessas propriedades durante a realização da operação. A essas propriedades correspondem:

Associativa: a regra dessa propriedade é que a associação de fatores não modifica em nada o produto. Exemplo: considerando os fatores 2, -3 e 4, temos que (2 . -3) . 4 = -24 e 2 . (-3 . 4) = -24;
Cumulativa: talvez essa seja a propriedade mais famosa, pois prega que a ordem dos fatores não altera o produto. Exemplo: considerando -3 e 4 como fatores, temos que (-3) . (4) = -12 e (4) . (-3) = -12;
Distributiva: aqui, a regra é o produto dos termos externos aos parênteses com os termos internos aos parênteses. Exemplo: a expressão 2 . [(3) . (4)] deve ser feita de multiplicando o primeiro fator pelo segundo e pelo terceiro, resultando em 6 + 8 = 14;

Elemento neutro: em qualquer multiplicação, o elemento neutro sempre corresponderá a +1, já que qualquer número multiplicado por +1 resultado nele mesmo. Assim, um dos fatores sempre será o elemento neutro. Exemplo: (-3) . (1) = -3.

Agora que as propriedades da multiplicação foram relembradas, é possível partir com mais firmeza para o tópico de interesse, ou seja, a potenciação de monômios.

Resolvendo potenciação de monômios

Vamos imaginar que e necessário resolver a seguinte expressão algébrica envolvendo potenciação: (3xyz)2 (elevado à potência 2). O primeiro passo a ser feito é encontrar uma maneira de tornar a escrita da expressão mais descomplicada para facilitar os cálculos. Essa maneira é dada por uma propriedade chamada de “potência de um produto”, que quando aplicada em nosso exemplo resulta em:
32x2y2z2

Na sequência, basta realizar o cálculo. Como três dos fatores são números desconhecidos (incógnitas), seus resultados já estão dados, bastando fazer a potência do número conhecido. Portanto, o resultado da potenciação do monômio exposto acima será:
9x2y2z2

No entanto, vamos tomar um exemplo mais complexo. Vamos supor que seja necessário resolver a seguinte expressão algébrica:
(3a2b2c3)3

Note que no caso acima existem potências fora e dentro dos parênteses. O primeiro passo a ser dado é escrever a expressão na forma de potência de um produto, conservando normalmente os expoentes:
33(a2)3(b2)3(c3)3

Na sequência, é necessário realizar as operações de multiplicação com os expoentes de cada fator, o que resultará em:
33a6b6c9

Como existe apenas um número conhecido dentro os fatores da expressão, a operação de potenciação deve ser feita apenas com ele, uma vez que nos demais fatores os resultados estão dados. Portanto, o resultado final da expressão algébrica descrita acima será:
9a6b6c9

Assim, diante do que foi exposto, é possível concluir que a potenciação de monômios é muito mais simples do que ela pode parecer à primeira vista, em especial para os alunos que costumam apresentar dificuldades em matemática.

Para não cair em nenhum tipo de armadilha que possa eventualmente levar a erros durante a resolução, é fundamental ter em mente as propriedades da multiplicação e sempre escrever a expressão algébrica na potência de um produto, mesmo que possa parecer se tratar de uma expressão extremamente simples de ser resolvida.

Lembre-se que a propriedade de potência de um produto não existe em vão. Ela auxilia na melhor visualização da expressão e na diminuição da probabilidade de erros de uma resolução baseada apenas na observação da expressão inicial.

A gênese da matemática

Situar os acontecimentos importantes na história da humanidade foi uma obrigação imposta pelas ciências modernas, em especial a arqueologia, a física e a história, apesar de todas as ciências contar com estudos epistemológicos que localizam, em maior ou menor grau, os acontecimentos relevantes em seu campo de saber e como eles afetaram seu desenvolvimento.

Testes de Comparações Múltiplas

Os testes de comparações múltiplas podem ser considerados como aqueles que são idealizados e organizados antes da ocorrência do experimento, podendo, dessa maneira, atuar como uma complementação do teste F para a variância.

Fração mista

Fração é um termo que vem do latim “fractus” e em português designa “quebrado” ou também “partido”.
Nos estudos da matemática, as frações consistem em uma maneira de efetuar a representação das partes pelos quais um determinado objeto foi dividido.

Lógica

A lógica é uma disciplina proveniente da matemática e é a cada dia mais aplicada em provas de vestibular, concursos públicos e até mesmo no ENEM. Isso porque é uma matéria onde utilizamos nosso raciocínio para resolver os problemas do dia-a-dia. Diferente do que acontece com a matemática mais pura, na lógica resolvemos os problemas sem fazer uso de fórmulas complexas. A resolução destes problemas ocorre através do raciocínio.

2º caso de fatoração: Agrupamento

Nos estudos das equações matemáticas, a fatoração é um procedimento que deve ser utilizado para efetuar a transformação da soma ou também da subtração de alguns termos. O objetivo dessa transformação é simplificar as sentenças matemáticas.

Combinatória

Dentro do contexto da matemática, a Combinatória, também chamada Análise Combinatória, é um segmento que analisa as coleções finitas de objetos que se relacionam com alguns critérios específicos, dando ênfase, mais especificamente, à contagem de elementos nessas coleções. Além disso, a Combinatória pode ser classificada em:

Sistema Métrico Decimal

O sistema métrico decimal é um conjunto de códigos que denominam medidas de forma fácil e identificáveis em qualquer parte do mundo. Parte integrante do sistema de medidas, embora seja capaz de mensurar comprimento, volume e superfície, seu uso principal é com o metro.

Funções de Primeiro Grau

As funções de primeiro grau costumam ser ensinadas ainda no ensino fundamental, e possuem menos complexidade que as de segundo grau. Elas envolvem uma fórmula matemática que possui uma incógnita – normalmente chamada de “x” – a qual deverá ter seu valor descoberto.

Volume da Pirâmide

A pirâmide é uma forma geométrica bastante conhecida desde a Antiguidade. O nome pirâmide, inclusive, deriva do grego “pyra”, que quer dizer fogo, luz ou ainda energia, e “midos”, que significa medidas. Portanto, a pirâmide seria a medida do fogo, ou a medida da luz.

Multiplicação de um número real por uma matriz

Quando falamos em matemática e seus conteúdos básicos para o currículo da educação, algo que os estudantes mais têm medo é a matriz e as operações com ela realizadas. No entanto, se pararmos para analisar, trabalhar com este tipo de conteúdo é bastante simples. Com o mínimo de atenção às aulas, com a prática de exercícios para a fixação do conteúdo e com possíveis dúvidas sempre esclarecidas, é possível facilmente dominar o conteúdo.

Números Romanos

A numeração romana tem uma constituição simples, mas por muitos anos foi uma forma de identificação matemática criada na Roma Antiga. Até hoje ela é utilizada para definir séculos, datas, capítulos e volume de livros, além de estar em mostradores de alguns tipos de relógios, principalmente os de parede.