Arquivos da categoria: Matemática

O ponto inicial das ciências exatas, a matemática é fundamental na sociedade. Assista aqui diversas aulas, além de poder realizar atividades e exercícios de Matemática

Imposto de Renda Pessoa Física

Quando chega a hora de declarar o Imposto de Renda de Pessoa Física, muitos contribuintes entram em pânico. O grande receio é o de não conseguir preencher corretamente, além da complexidade de informações.

 Imposto de Renda Pessoa Física

Para esses, há duas boas notícias:

1 – Um contador, em geral, não cobra mais que R$ 200,00 para fazer uma declaração com conhecimento profissional.

2 – Para quem não tem muitos bens e deduções, ou seja, para o trabalhador que ganha dentro da faixa de contribuição, não é necessário grandes conhecimentos de operação de um computador para fazer a declaração através do site da Receita.

Alguns trabalhadores ainda têm o privilégio de serem descontados em folha, o que facilita ainda mais, pois é possível retirar o espelho junto à própria empresa, que mostra a renda e os valores recolhidos para o Imposto de Renda de Pessoa Física.

Há quem reclame de ter que pagar mais um entre tantos impostos. Sem dúvida alguma, a estrutura tributária brasileira é desgastante mesmo para pessoas físicas.

Por que existe um imposto?

Por outro lado, é preciso entender qual a finalidade do Imposto de Renda da Pessoa Física. Trata-se de uma receita do Estado decorrente de um tributo que incide sobre a renda do contribuinte. Entenda-se por renda, salários, vendas de imóveis, heranças, etc., além de patrimônios materiais. Tudo isso deve ser declarado para que o sistema possa calcular o valor a ser recolhido.

Essa receita do Estado é usado para a manutenção das políticas e serviços públicos, sejam eles federais, estaduais ou municipais. Sem essas receitas, o Estado seria inoperante, incapaz de fazer a gestão pública e prestar serviços como previdência, saúde, educação, infraestrutura e outros.

Quem precisa declarar?

São obrigados a declarar o imposto de renda todos aqueles que tiveram rendimentos tributáveis iguais ou superiores a R$ 28.559,70, o equivalente, por exemplo, a quem recebe um salário igual ou superior a R$ 1.903,98 mensal.

São obrigados a contribuir, também, proprietários de imóveis ou terrenos com valor superior a R$ 300 mil (legislação referente a 2018, referente ao ano fiscal de 2017).

Mesmo aqueles que são isentos do imposto devem declarar, embora não seja obrigatório, já que há benefícios para os mesmos, como a declaração de renda aceita pelo sistema financeiro.

Para quem está obrigado a declarar o Imposto de Renda de Pessoa Física e não o faz, há uma série de penalidades, a começar pela citação no CPF de que há pendência fiscal. Em razão disso, o contribuinte não pode tirar passaporte, fazer empréstimos, prestar concursos públicos e obter certidões negativas para aluguel ou venda de imóvel.

Além disso, o contribuinte está sujeito à multa de 1% ao mês por atraso na entrega da declaração, que incide sobre o montante do imposto a ser pago, podendo chegar a até 20% do mesmo.

Quanto à malha fina, não há razão para alarde na maioria dos casos. O contribuinte pode cair na malha fina devido a pequenas divergências entre as informações, o que pode ser resolvido rapidamente pela internet.

No caso de omissões, ou o contrário é necessário fazer uma Declaração de Retificação.

Declaração completa e simplificada

Há dois tipos de declaração: completa e simplificada.

A declaração simplificada é a mais fácil de fazer, principalmente se o contribuinte optar por fazer o processo online. Nesse caso, precisa ter em mãos a última declaração ou o número do título eleitoral, informe de rendimentos, informes de rendimentos financeiros (aplicações e investimentos), previdência privada e ficha de bens tributáveis.

Nesse caso, o valor da alíquota é fixo e incide sobre 20% da renda tributável. Nesse modelo de declaração não está prevista a possibilidade de deduções.

Se o contribuinte percebe que há uma forte incidência de despesas dedutíveis, incluindo atendimento médico, plano de saúde, serviços odontológicos, investimento em educação e doações, deve optar pela declaração completa. Nesse caso, precisa anexar a documentação comprobatória das referidas despesas.

A declaração deve ser entregue entre o primeiro dia útil de março e o último minuto do último dia de abril do ano posterior ao do rendimento declarado.

O que é a restituição

A restituição ocorre em alguns casos em que é preciso corrigir o ajuste anual. São casos em que o contribuinte pagou mais que o devido ou pagou sem dever nada.

É comum acontecer com trabalhadores cujo recolhimento é feito na fonte. Eventualmente, há recolhimento em cima da renda de um ou mais meses, mas a renda anual fica abaixo da renda mínima tributável. Nesse caso, o contribuinte é restituído.

Da mesma forma que ocorre a restituição, pode também ocorrer o contrário, caso o valor recolhido tenha sido inferior ao valor devido.

Como esclarecer dúvidas?

Caso tenha alguma dúvida que não foi esclarecida neste artigo, um dos procedimentos possíveis é acessar o “Perguntão” da Receita Federal, que disponibiliza uma lista de perguntas e respostas.

Se pode gastar algum dinheiro para evitar a dor de cabeça, a melhor saída é pagar um contador para cuidar do assunto, principalmente, como já dito, se o contribuinte tiver uma declaração mais complexa a fazer.

Transformações Trigonométricas

Existem diversos assuntos em matemática que são verdadeiramente fascinantes, uma vez que eles permitem calcular coisas que de outra maneira seriam impossíveis e também servem de base para a criação de diversos dispositivos e objetos utilizados em nosso dia a dia.

Transformações Trigonométricas

Dentre tais assuntos, a geometria, com certeza, é um dos mais interessantes, pois pode ser aplicada a uma série de situações de extrema utilidade. Dentro da geometria, este artigo irá focar na trigonometria, ou seja, ramo da matemática responsável por estudar a relação entre dois lados de um triângulo retângulo (aquele em que um dos ângulos internos é igual a 90°) levando em consideração os diferentes valores que os ângulos agudos podem assumir.

Como ficará claro na sequência, ao estudar razões trigonométricas, ficará claro a importância que os conceitos de seno, cosseno e tangente assumem no estudo. Por isso, antes de partir para o assunto de interesse, vale a pena relembrar esses conceitos, que seguem na sequência:

– Seno: dado qualquer triângulo retângulo, o seno de um de seus ângulos agudos é a razão entre o comprimento da hipotenusa e o cateto oposto, isto é, a divisão de um pelo outro;

– Cosseno: do que foi dito acima, pode-se deduzir que o cosseno é o ângulo dado pela divisão entre o valor da hipotenusa e o valor do cateto adjacente;

– Tangente: seguindo a mesma lógica aplicada na definição acima, temos que o ângulo tangente é dado pela razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto do ângulo em questão.

Com esses conceitos em mente, é possível partir com mais precisão para o assunto que aqui interessa: as transformações trigonométricas.

Entendendo as transformações trigonométricas

A primeira coisa a se ter em mente é que o referido conceito deve ser interpretado como sinônimo de cálculo entre arcos feitos de acordo com as razões trigonométricas. Elas são importantes pois permitem calcular os valores do seno, cosseno e tangente de dois ângulos somados, uma vez que essa soma não é dada corretamente somente pela adição de um ângulo ao outro ou, em termos matemáticos, sena senb não é a mesma coisa que sen(a b), sendo está última fórmula a correta.

Existem fórmulas prontas que permitem realizar o cálculo das quatro operações básicas envolvendo as transformações. Como não poderia deixar de ser, vamos começar com as mais simples: a adição e a subtração, por meio das fórmulas capazes de a soma ou subtração do seno, cosseno e tangente de dois arcos.

1. Para calcular a soma e subtração de senos: essas duas operações são dadas, respectivamente, pelas fórmulas sen(a b) = sena.cosb senb.cosa; e sen(a – b) = sena.cosb – senb.cosa;

2. Para calcular a soma e subtração de cossenos: as fórmulas seguem uma lógica diferente da aplicada no tópico anterior (por isso, cuidado), sendo dadas por cos(a b) = cosa·cosb – sena·senb; e cos(a – b) = cosa·cosb sena·senb;

3. Para calcular a adição e subtração de tangente: neste caso, deve-se tomar diversos cuidados pois é necessário considerar as condições de existências, ou seja, as restrições existentes para o uso das fórmulas, pois tanto a fórmula de adição quanto a fórmula de subtração de tangentes só podem ser utilizadas quando a e b são diferentes de π/2 2kπ. onde π corresponde a aproximadamente 3,14 e k é a constante, um número inteiro. Tendo isso em mente, a fórmula de adição de tangentes é tg(a b) = tga tgb/1 – tga·tgb, com 1 tga·tgb ≠ 0; e a subtração dada por tg(a – b) = tga – tgb/1 tga·tgb, com 1 – tga·tgb ≠ 0.

Dessa fórmula é possível deduzir mais 3 quando a = b, ou seja, quando o ângulo a tiver o mesmo valor de b. São elas: sen2a = 2sena·cos; cos2a = cos2a – sen2a; e tg2a = 2tga/1 – tg2a, com a diferente de a ≠ π/2 kπ e de a ≠ π/4 kπ.

Soma e adição na forma de produto

Em algumas situações, as fórmulas descritas acima não poderão ser aplicadas ou darão muito trabalho para que seja possível chegar ao resultado. Quando for este o caso, é possível utilizar as fórmulas de adição e subtração na forma de produto. Essas fórmulas são dadas por:

– sena senb = 2. cos(a b / 2) . cos(a – b / 2);
– sena – senb = 2. cos(a b / 2) . sen(a – b / 2);
– cosa cosb = 2. cos(a b / 2) . cos(a – b / 2);
– cosa – cosb = 2. sen(a b / 2) . sen(a – b / 2);
– tga tgb = sen(a b) / cosa . cosb
– tga – tgb = sen (a – b) / cosa . cosb

As fórmulas vistas acima podem parecer assustadoras à primeira vista, mas assim que são postas em prática por meio de exercícios, você verá que além de terem uma aplicação relativamente tranquila, elas são úteis em uma série de situações, e com certeza serão de grande ajuda para você em algum momento.

Freqüência Absoluta

A estatística é uma ciência que possibilita a análise de cenários a partir de dados quantitativos e qualitativos de uma amostra populacional significativa. Através da estatística a sua professora de matemática pode, por exemplo, saber qual a nota média dos alunos do terceiro ano do ensino médio, da escola onde você estuda, nos últimos cinco anos.

Freqüência Absoluta

Para fazer esses cálculos é possível considerar a quantidade total de estudantes ou uma amostra que represente essa população. Ao analisar esse histórico, a professora poderá calcular também a probabilidade dessa nota média se repetir, nos próximos cinco anos.

A estatística realiza várias operações matemáticas, simples ou complexas, para responder as questões de uma determinada pesquisa. Por isso, a estatística pode ser aplicada a todas as áreas do conhecimento.

Um levantamento estatístico muito conhecido por todos é o censo demográfico, o qual possibilita, entre tantas informações, projetar o crescimento populacional nos próximos 10 anos. E, a partir dessas informações, os gestores públicos podem planejar, por exemplo, quantas escolas precisarão construir para atender a demanda de estudantes, na década seguinte.

O que é [frequência absoluta]?

Para saber a quantidade de notas 10 em uma classe de 40 alunos, nos dois primeiros bimestres do ano, a professora de matemática analisa a lista de alunos e suas respectivas notas. Assim, ela saberá quantas vezes a nota 10 aparece na tabela de resultados, ou seja, qual foi a frequência desse resultado, naquele período.

A [frequência absoluta] corresponde à quantidade de ocorrências de um mesmo resultado. Se no exemplo dado, 20 alunos alcançaram a nota 10, podemos dizer que a frequência absoluta desse levantamento estatístico foi 20 vezes.

Nesse cálculo é necessário definir:
Período avaliado: 1º quadrimestre de 2017
População estatística: 40 alunos do terceiro ano do ensino médio
Unidade estatística: cada aluno desta classe
Variável estatística: a quantidade de notas 10
Frequência absoluta: número de ocorrências da nota 10
Resultado da frequência absoluta: 20 alunos tiraram nota 10
Outro exemplo de frequência absoluta:

Nesta mesma classe, a professora de língua portuguesa pesquisou a quantidade de livros de literatura brasileira que os alunos leram, no ano anterior.

Período pesquisado: ano letivo de 2017
População estatística: 40 alunos do 3º ano do ensino médio
Variável estatística: número de livros lidos
Frequência absoluta: quantidade de livros lidos
Resultado frequência absoluta : 10 alunos (6 livros); 15 alunos (4 livros) e 15 alunos ( 2 livros)
Total de livros lidos: 150 (10 x6 15×4 15 x2)

Número de alunos Quantidade de livros lidos (Frequência absoluta)
10 6
15 4
15 2

Por que é importante conhecer a frequência absoluta?

De imediato, a frequência absoluta mostra a quantidade de ocorrências de um evento. A partir dessa informação podemos seguir adiante fazendo outros cálculos matemáticos para responder a questões de um levantamento estatístico como: Quais os percentuais de alunos que leram a maior e a menor quantidade de livros de autores nacionais? O que esses resultados representam, quando comparados à média de livros lidos, ao ano, no Brasil?

Porém, para fazer análises mais aprofundadas é necessário calcular outro tipo de frequência, a [frequência relativa]. Isto só é possível quando conhecemos a frequência absoluta. A frequência relativa corresponde ao percentual representado pela frequência absoluta dentro do universo pesquisado.

Considerando o exemplo anterior, podemos informar que 25% dos alunos daquela classe leram 6 livros de literatura brasileira, cada um deles, em 2017. Ou que 37,5% desses estudantes leram 4 livros, no período avaliado.

A frequência relativa, portanto, permite uma visualização melhor do cenário e análises comparativas com outros dados estatísticos como os resultados obtidos em outra classe da mesma escola ou com o perfil do leitor brasileiro, por exemplo.

E se a professora quiser saber qual o autor preferido dos alunos? Bem, primeiro ela terá que ampliar a tabela, incluindo os títulos dos livros e seus respectivos autores, lidos por aluno. Assim ela encontrará, além das frequências absoluta e relativa, outro dado importante.

A partir da frequência absoluta, é possível calcular outra informação importante para a estatística que é o evento com maior número de repetições. Este dado é denominado moda. Então temos que:
Moda = é o evento que se repete mais vezes.

Digamos que, ao relacionar os livros lidos por seus alunos, a professora encontrou a seguinte informação: o livro mais lido foi “Vidas Secas”, de Graciliano Ramos, escolhido por 35 alunos. Portanto, a moda, evento mais repetido, foi a leitura desse clássico da literatura brasileira.

Resumo:

O que você precisa saber para calcular a frequência absoluta:

Definir o objetivo do levantamento estatístico
Estabelecer a população estatística a ser pesquisada
Organizar os dados obtidos em uma tabela
Quantificar a frequência absoluta de cada evento analisado

Com essas informações você poderá calcular a frequência relativa e moda.

Estas informações ajudaram você a entender o que é frequência absoluta?

Compartilhe e leia outros artigos no blog!

Potência de base inteira

A matemática costuma ser a matéria mais temida por estudantes da educação básica, quer seja por estudantes do ensino médio ou quer seja por aqueles do ensino fundamental. De fato, ela pode ser complicada, uma vez que é necessário obedecer uma série de regras para que os cálculos fiquem corretos.

Potência de base inteira

Dentre essas regras, existem por exemplo as condições de existência. Vamos supor que estamos tentando resolver a seguinte operação, bastante simples: 9 / 0. 9 é divisível por números racionais, inteiros, racionais e mesmo irracionais. No entanto, nenhum número é divisível por 0, e é justamente essa a condição de existência dessa operação, ou seja, a conta não pode ser realizada.

Este é apenas um dos muitos exemplos de operações em que é necessário checar a condição de existência e assim poder ou não efetuar a operação. Neste artigo, trabalharemos com uma temática fundamental em matemática: a potenciação, mais especificamente a potenciação de base inteira.

Entendendo o conceito

A potenciação, também chamada de exponenciação, é uma operação matemática que consiste na multiplicação de fatores iguais ou, em outras palavras, quando um número presente na base é multiplicado pela quantidade de vezes determinada pelo expoente. Vamos fazer um exemplo bastante simples: 2 elevado à segunda potência (2).

Segundo a definição acima, número da base deve ser multiplicado pela quantidade presente no expoente. Assim, 2 x 2 = 4, portanto, 2 elevado à segunda potência é igual a 4. Se o expoente fosse 3, deveríamos fazer 2 x 2 x 2 = 8. Portanto, 2 elevado à terceira potência é igual a 8. 2 elevado à quarta potência é igual 16, elevado à quinta potência igual a 32, e assim por diante.

Vale ressaltar que existem algumas condições de existência que devem ser checadas sempre que se trabalha com exponenciação. Quando qualquer número é elevado à potência 1, o resultado sempre será o próprio número pois, para continuar em nosso exemplo, 2 x 1 = 1. Quando o número da base é elevado a 0, o resultado sempre dará 0 pois 2 x 0 = 0. No entanto, quando a base for 0 elevado a 0, o resultado será 1 ou indeterminado.

Outra importante observação que deve ser feita é em relação às operações exponenciais que possuem incógnitas. Quando a incógnita está na base, a operação pode ser facilmente resolvida. Como exemplo, podemos citar a operação x elevado à terceira potência é igual a -8. Já vimos que o número 2 elevado à terceira potência é igual a 8, e como o resultado está 8 negativo, pode-se facilmente concluir que x corresponde a -2, pois -2 x -2 x -2 = -8.

No entanto, a mesma coisa não pode ser dita quando a incógnita corresponde ao expoente, pois quando temos -2 elevado à potência x igual a -8, a solução sempre será inexistente, independente de qual número esteja na base.

Operações com potências de base inteira

As operações com expoentes são uma das dúvidas mais comuns dos estudantes, e isso se deve ao fato de cada tipo de potenciação requerer uma regra específica para que o cálculo seja realizado. São elas que veremos na sequência.

-Quando existe a multiplicação por duas bases iguais com expoentes diferentes. Exemplo: supondo que seja necessário fazer a operação 2 elevado à terceira potência multiplicado por 2 elevado à quinta potência, o resultado deve ser calculado conservando a base e somando os expoentes. Assim, o resultado dessa operação será 2 elevado à oitava potência, que é igual a 256;

-Multiplicação de uma base com dois expoentes: é muito comum se deparar com contas do tipo 2 elevado à segunda potência elevado à terceira potência. Nestes casos, é necessário conservar a base e multiplicar os expoentes. Assim, 2 x 3 = 6, portanto o resultado será dado por 2 elevado à sexta potência, que dará 64;

-Multiplicação de duas bases diferentes com expoentes iguais. Neste caso, a base deve ser multiplicada e o expoente mantido. Portanto, 2 elevado a 3 e 3 elevado a 3 será dado por 2 x 3 elevado à terceira potência, que será igual a 6 elevado a 3, igual a 72;

-Quando na base é uma fração com números diferentes: outra situação bastante comum é contas exponenciais nas quais existe uma fração na base elevada a determinado expoente. Neste caso, ambas partes da fração devem ser elevadas ao expoente, como em 4/2 elevado a 2, que será 4 elevado a 2 dividido por 2 elevado a 2, resultando em 8 dividido por 4, que é igual a 2;

-Quando a base é uma fração de partes iguais e expoentes diferentes: existem casos como 4 elevado a 4 dividido por 4 elevado a 2. Nestes casos, o número da base deve ser mantido e o segundo expoente ser subtraído por primeiro, que no caso do exemplo será 4 – 2 = 2, portanto o resultado será dado por 4 elevado a 2, igual a 8.

Coeficiente de variação

Talvez você já tenha ouvido falar em coeficiente de variação na escola ou durante o seu tempo na faculdade, mas ainda não saiba o que esse termo significa exatamente e qual a sua importância no mundo da matemática. Agora, você vai descobrir tudo sobre esse fator e dominar um pouco mais sobre esse termo tão importante para as estatísticas e cálculos.

Coeficiente de variação

De maneira geral, o coeficiente de variação é um aspecto muito utilizado por quem busca desvendar a variabilidade de um dado estatístico por meio da exclusão da influência da ordem de grandeza presente na variável.
Pareceu um pouco difícil? Vamos simplificar!

Desvendando o coeficiente de variação

Na maioria dos casos, todos os estudos relacionados a estatísticas estão diretamente ligados às atitudes e momentos que necessitam de muito planejamento, coleta de dados, estratégias, organização de dados e também da análise das informações recolhidas.

Mas como é possível fazer a comparação entre dois ou mais conjuntos de informações? Para resolver esse tipo de situação, o mundo das estatísticas utiliza um termo chamado de desvio padrão. Porém, para que isso funcione, é fundamental que todos os dados tenham a mesma unidade de medida.

Nas situações em que todos os dados recolhidos e analisados foram medidos em unidades de medida diferentes, a comparação entre o conjunto de dados só pode ser feita por meio do coeficiente de variação.

E o que isso significa? Isso quer dizer que o coeficiente de variação é utilizado na análise da dispersão considerando o seu valor médio em situações que apresentam dois ou mais grupos de valores com unidades de medida diferentes. Ou seja, esse termo é uma maneira de demonstrar a variabilidade dos dados sem a utilização da influência da ordem da grandeza da variável na influência dos resultados.

Mas como é feito esse cálculo?

Agora você deve estar se perguntando como é realizado o cálculo do coeficiente de variação. Essa situação é resolvida por meio da fórmula CV = s/X . 100. Mas o que esses termos significam? O s representa o desvio padrão, o X representa a média dos dados apresentados e o CV representa o coeficiente de variação.

Fique atento! Considerando que o coeficiente de variação realiza a análise da dispersão em termos relativos, os dados alcançados por meio da sua fórmula serão representados como uma porcentagem.

Alcançados os resultados do coeficiente de variação por meio da fórmula apresentada, como é feita a interpretação dessa porcentagem? De uma forma simples, podemos dizer que, quanto menor for o resultado do cálculo do coeficiente de variação, mais homogêneos serão os dados utilizados. Isso significa que a dispersão que gira em torno da média é menor. Ou seja:

Baixa dispersão (dados homogêneos): coeficiente de variação menor ou igual a 15%

Média dispersão: coeficiente de variação entre 15% e 30%

Alta dispersão (dados heterogêneos): coeficiente de variação maior que 30%
Dessa forma, é possível concluir que o coeficiente de variação é uma forma de estatística muito utilizada por quem busca fazer uma comparação entre a variação de dados observados que podem ser diferentes em relação a suas médias e também as suas unidades de medição.

Sendo assim, o coeficiente de variação pode ser considerado uma medida relativa de variabilidade que não depende da unidade de medida que está sendo usada. Sendo assim, as grandezas presentes nos dados coletados podem se diferenciar entre si sem causar nenhuma alteração nos valores finais.

Portanto, é possível perceber que o coeficiente de variação é um termo que pode ser aplicado em pesquisas que visam comparar a precisão de estudos e experimentos diferentes. Porém, é preciso ficar atento! Para ser possível definir se um coeficiente é alto ou baixo, é necessário ter muito contato e também familiaridade com o seu objeto de pesquisa.

Mas qual é a vantagem de se utilizar o coeficiente de variação? Esse termo é extremamente útil, pois não depende da relação entre as médias dos dados, diferente do desvio de padrão, que sempre deve ser utilizado considerando esse valor. Isso significa que o desvio de padrão nunca deve ser utilizado para comparar dados que possuem unidades ou médias diferentes. Ou seja, nessas situações, deve-se optar sempre pelo coeficiente de variação.

E é possível encontrar alguma desvantagem no coeficiente de variação? Em algumas situações, esse termo se torna um pouco mais complicado de ser utilizado. Isso acontece principalmente quando o valor da média chega muito próximo de zero. Isso fará com que o coeficiente chegue muito próximo do infinito, podendo causar algumas alterações indesejadas na média.

Outra situação que não torna o coeficiente de variação uma preferência é quando buscamos definir ou fazer intervalos considerados de confiança para a média dos dados. Nessas situações, o coeficiente de variação não pode ser utilizado, diferente do desvio padrão, que se tornou o termo perfeito para esse tipo de caso.

Sólidos platônicos

Dentro do mundo da matemática existe a geometria, responsável pelo estudo do espaço e das figuras que o ocupam. Para muitas pessoas, a matemática se resume a números, porém Platão já pensava diferente. Enquanto a escola Pitagórica levava como lema a ideia de “tudo são números”, a famosa Academia (escola fundada por Platão) já deixava um recado em sua porta: “Que ninguém que ignore a geometria entre”.

Sólidos platônicos

Não é a toa que um dos elementos da geometria são os sólidos platônicos. Esses são convexos, em que suas arestas dão forma a polígonos planos, regulares e congruentes. Esses sólidos possuem essa nomenclatura graças a Platão, responsável pela sua descoberta (400 a.C.).

Vale destacar que existem apenas cinco sólidos que conseguem reunir essas condições (todas as faces como polígonos regulares):
• Tetraedro: poliedro regular que possui quatro faces (triângulos equiláteros), quatro vértices e seis arestas. Pode formar-se a partir da junção de quatro triângulos.
• Hexaedro (cubo): possui seis faces (quadrados), oito vértices e duas arestas. O cubo forma-se a partir de um molde que contenha seis quadrados.
• Octaedro: é um poliedro regular com oito faces (triângulos equiláteros), com seis vértices e 12 arestas. Pode ser formado através da junção de oito triângulos equiláteros.
• Dodecaedro: possui 12 faces (pentágonos), 20 vértices e 30 arestas. Esse poliedro regular pode ser formado a partir de 20 pentágonos.
• Icosaedro: poliedro regular que possui 20 faces (triângulos equiláteros), 12 vértices e 30 arestas. O icosaedro forma-se de um molde de 20 triângulos equiláteros.

Platão e os sólidos platônicos

Platão era um matemático que apreciava tanto os conhecimentos geométricos que afirmava com segurança e propriedade que a geometria tinha a posse da chave que desvendava todos os segredos presentes por trás do universo. Não é a toa que ele estabeleceu relações entre os poliedros e o Universo. Uma delas foi a associação do cubo, icosaedro, tetraedro e octaedro (respectivamente) com os elementos terra, água, fogo e ar. A maior dificuldade foi em relacionar o dodecaedro, que mais tarde ficou responsável pelo próprio Universo.

O entusiasmo do povo antigo com a geometria fez com que os sólidos platônicos tivessem grande peso e importância no universo. Acreditava-se que toda a matéria era formada através dos sólidos platônicos, assim como acreditamos que a matéria seja feita através das combinações de átomos.

Relação de Euler e os sólidos platônicos

Aqueles que seguiam a linha de Pitágoras tinham ciência da existência de apenas cinco sólidos regulares convexos, e também que cada um podia ser delineado de maneira rigorosa por uma esfera. Euclides descreveu esses sólidos no seu livro Elementos (parte XIII, proposição 13 à proposição 17), descrevendo o argumento de que apenas esses são os sólidos regulares. Já o matemático Euler montou uma demonstração desse resultado.

Segundo ele, o número de vértices, arestas e faces obedecem a seguinte relação: V−A F=2. Aqui V equivale ao número de vértices da figura, enquanto A faz menção ao número de arestas e F significa o número de faces. Dessa maneira temos a Relação de Euler. Vale destacar que a constante 2 irá depender sempre da forma do espaço topológico.

Fazendo uma ligação dos centros das faces adjacentes dos sólidos platônicos é possível obter outro sólido (porém de tamanho menor), que também será considerado sólido platônico. Esse sólido resultante, obtido a partir do inicial, podemos nomear como sólido dual.

Sólidos platônicos presentes na natureza

Como já dito anteriormente, a existência dos sólidos platônicos já era de conhecimento dos pitagóricos. Dessa maneira, os egípcios tiveram a brilhante ideia de utilizar de alguns elementos sólidos platônicos em sua arquitetura e também em outros objetos construídos por eles.

Estes sólidos também se fazem presentes na natureza (através de pedras preciosas, organismos vivos, etc.) e também na cultura humana (artes como pinturas, esculturas, arquitetura, etc.). Quando presentes na arquitetura, esses sólidos platônicos são encontrados graças a sua simetria e beleza, o que faz com que seja estimulado o interesse do ser humano, não somente hoje como através dos séculos. Muitas são as formas cristalinas naturais dos sólidos platônicos. Como exemplo, trazemos a calcopirita (tetraedro), galena (hexaedro) e da magnetita (octaedro).

Na área da saúde também é possível identificarmos exemplos de sólidos platônicos. Diversos vírus, como o da herpes, conseguem assumir a forma de um icosaedro regular. Isso é explicado por conta das estruturas virais serem formadas por diversas subunidades proteicas (iguais e similares), sendo o icosaedro a forma mais simples de originar essas subunidades. Faz-se uso de um poliedro regular por conta dele poder ser construído de uma unidade proteica básica, sendo repetido diversas vezes. Isso traz economia ao espaço no genoma viral.

Na meteorologia e climatologia é possível encontrar modelos numéricos globais do fluxo atmosférico que utilizam malhas com referências em um icosaedro (refinado por subdivisão). Esses têm se destacado diante dos modelos que fazem utilização das coordenadas de longitude e latitude.

Mercados financeiros

Mercado financeiro é definido como um local de comércio de valores como ações, títulos, ouro, moedas estrangeiras e produtos agrícolas. São feitas negociações cujo resultado pode influenciar a economia de um país e até mesmo o mundo, como em casos lendários como a Grande Depressão causada pelo crash da bolsa americana de 1929.

Mercados financeiros

Há agentes presentes para fiscalizar as transações, que geralmente envolvem diversas instituições e valores financeiros de grande volume. Mas é o investidor a figura mais importante do mercado financeiro, já que é ele quem possui o dinheiro que será investido visando sua multiplicação, fazendo o ciclo de compra e venda permanecer intenso.

Como funciona o mercado financeiro

O dinheiro que o investidor tem disponível é destinado a algum tipo de aplicação e há vários caminhos dos mais seguros aos de risco, cuja variação é a porcentagem que o investidor pode ter de retorno e até mesmo as chances de perder o que foi depositado. Mesmo que o mercado financeiro tenha diretrizes capazes de nortear os investidores, está vulnerável as oscilações econômicas e pode surpreender até mesmo os mais atentos corretores.

Há no mercado financeiro entidades e operações de ativos de diferentes graus de liquidez que envolve patrimônios, dívidas e títulos representativos do tesouro. No mercado financeiro há duas vertentes que são do mercado de crédito e mercado de capitais. No mercado de crédito há operações de curto e médio prazo destinadas a financiamentos e capital de giro de empresas, com recursos dos bancos e instituições financeiras. Já no mercado de capitais as operações são de médio a longo prazo e direcionadas pelos investimentos de capital fixo, sendo a base das economias.

As negociações no mercado financeiro são realizadas pelos investidores e pelos tornadores de recursos, podendo ser feitas por empresas e intermediada por instituições financeiras autorizadas pelo Banco Central. De instituições financeiras intermediárias estão as corretores, bancos e financeiras, que atuam nas operações, cobrando taxas que oscilam de valor entre cada uma e recebidas sobre o montante das operações realizadas. Dos produtos que são negociados pelas instituições financeiras estão as ações, seguros de vida, fundos de investimento imobiliário, títulos públicos entre outros.

Há mercados financeiros gerais, onde são disponibilizados vários produtos diferentes, e há o mercado especializado, focado em apenas um tipo de mercadoria para ser negociada. São quatro as especializações: o câmbio, monetário, aberto e crédito.

O mercado cambial movimenta moedas estrangeiras, especialmente o dólar e o euro. O mercado monetário age em operações de curto e curtíssimo prazo, permitindo uma movimentação grande e que dá novo fôlego as instituições financeiras. O mercado de crédito oxigena pessoas e empresas em curto à médio prazo, através de empréstimos bancários e cheque especial, com juros bastante elevados.

O mercado de ações, que simbolicamente mais representa o que é um mercado financeiro, atua em empresas de capital aberto e que disponibilizam cotas onde os investidores podem ser sócios e fazer parte dos seus lucros e prejuízos. As ações são comercializadas em bolsas de valores e o preço é bastante variável e que pode ser alterado radicalmente em poucas horas, especialmente baseado na oferta e demanda.

A influencia do mercado financeiro entre os países

O mercado financeiro é a vitrine econômica de um país. Até pouco tempo ele se limitava a relacionar o crescimento, desemprego e inflação da economia, mas atualmente ele é um grande indicador político e capaz de nortear eleições, mesmo que paises em desenvolvimento ainda não tenham incorporaram completamente o impacto econômico.

Mas independente do regime político vigente no país, seja ele capitalista, comunista ou socialista, a atuação do mercado financeiro é neoliberal econômico. Seu lema é produzir, produzir e produzir aliado ao consumir, consumir e consumir, para que não haja estoque e conseqüente prejuízo. O incentivo ao consumo vem de produtos com menor durabilidade e que possa manter o ciclo fluindo ativamente.

Mas se não há renda, não há progressão de consumo. E essa máquina precisa apresentar harmonia nas suas engrenagens de capital, trabalho e mercado financeiro, para que possa continuar gerando riquezas, produção, consumo, produção e consumo. Essa harmonização de capital com lucro, trabalho com renda e mercado financeiro sem juros é considerada uma utopia, mas na prática trata-se mais de uma bomba prestes a explodir com mais ou menor rapidez.

O mercado varejista está especialmente muito competitivo, fazendo com que os operadores façam reflexões e análises rotineiras para que possam tomar decisões imediatas e com menor chance de erros.

A última crise mundial em 2008 teve efeito cascata nos mercados financeiros mundiais e o Brasil foi um dos que sentiram muito sua influencia. No início, medidas foram tomadas para reaquecer o mercado brasileiro, aumentando o poder aquisitivo da população, elevando as classes e subindo os índices de consumo. Até chegar um momento onde não foi possível manter esse ritmo e os juros subiram assim como os índices de desemprego e renda.

Sua energia gira em torno daqueles que possuem renda superior a disposição em gastar e aqueles que querem ou precisam gastar mais do que o que têm. Dessa forma há uma transferência de fundos do que é investido para o que é emprestado com juros, permitindo que haja oportunidades variáveis de ganhos até mesmo em pessoas com poucos recursos para investir.

A máquina que movimenta o mercado financeiro é fundamental para a formação tecnológica e econômica do país, inclusive fomentando a valorização ou desvalorização da moeda.

Potenciação de monômio

A matemática é considerada como a única linguagem universal existente no mundo, afinal em qualquer lugar o resultado da operação de adição 2 + 2 será igual ao número 4. No entanto, mesmo diante disso, o que se observa na prática é que se trata de uma disciplina com os conteúdos mais temidos dentre a maioria dos estudantes.potenciacao-de-monomio

Esse temor da matemática tem diversas origens. Como exemplo, é possível citar a falta de didática advinda da má formação de professores da área, falta de recursos didáticos que tornem o processo de aprendizado estimulante para o aluno, materiais didáticos com baixa qualidade e a lista continua.

No entanto, como é do conhecimento de quase todos, a matemática é uma ciência lógica, ou seja, segue o fluxo do pensamento humano, e por isso não deve ser temida, pois com um pouco de dedicação e principalmente prática para verdadeiramente assimilar os conteúdos ensinados, é possível tirar de letra a grande maioria dos conteúdos previstos nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática das séries do ensino fundamental e ensino médio. Este é o caso do principal tópico de interesse deste artigo: a potenciação de monômio.

Dito de maneira simples, os monômios podem ser entendidos como expressões algébricas – entendidas como aquelas que possuem ao menos três requisitos básicos: números conhecidos, como 1 e 2, números desconhecidos, geralmente representados por letras como x e y, e operações com esses números. Isso significa que é possível realizar todas as operações matemáticas com os monômios, como adição, subtração, divisão, multiplicação e, claro, potenciação.

Vale lembrar que a potenciação, ou seja, elevar um número conhecido ou desconhecido a determinada potência, é uma operação que tem relação direta com a multiplicação, e por isso ao realizar a potenciação de monômio, as propriedades da multiplicação são preservadas. Para maior clareza, elas serão relembradas na sequência.

Propriedades da multiplicação

A multiplicação obedece a quatro grandes propriedades que devem estar muito bem fixadas, pois o resultado correto da potenciação de monômios depende diretamente da correta aplicação dessas propriedades durante a realização da operação. A essas propriedades correspondem:

Associativa: a regra dessa propriedade é que a associação de fatores não modifica em nada o produto. Exemplo: considerando os fatores 2, -3 e 4, temos que (2 . -3) . 4 = -24 e 2 . (-3 . 4) = -24;
Cumulativa: talvez essa seja a propriedade mais famosa, pois prega que a ordem dos fatores não altera o produto. Exemplo: considerando -3 e 4 como fatores, temos que (-3) . (4) = -12 e (4) . (-3) = -12;
Distributiva: aqui, a regra é o produto dos termos externos aos parênteses com os termos internos aos parênteses. Exemplo: a expressão 2 . [(3) . (4)] deve ser feita de multiplicando o primeiro fator pelo segundo e pelo terceiro, resultando em 6 + 8 = 14;

Elemento neutro: em qualquer multiplicação, o elemento neutro sempre corresponderá a +1, já que qualquer número multiplicado por +1 resultado nele mesmo. Assim, um dos fatores sempre será o elemento neutro. Exemplo: (-3) . (1) = -3.

Agora que as propriedades da multiplicação foram relembradas, é possível partir com mais firmeza para o tópico de interesse, ou seja, a potenciação de monômios.

Resolvendo potenciação de monômios

Vamos imaginar que e necessário resolver a seguinte expressão algébrica envolvendo potenciação: (3xyz)2 (elevado à potência 2). O primeiro passo a ser feito é encontrar uma maneira de tornar a escrita da expressão mais descomplicada para facilitar os cálculos. Essa maneira é dada por uma propriedade chamada de “potência de um produto”, que quando aplicada em nosso exemplo resulta em:
32x2y2z2

Na sequência, basta realizar o cálculo. Como três dos fatores são números desconhecidos (incógnitas), seus resultados já estão dados, bastando fazer a potência do número conhecido. Portanto, o resultado da potenciação do monômio exposto acima será:
9x2y2z2

No entanto, vamos tomar um exemplo mais complexo. Vamos supor que seja necessário resolver a seguinte expressão algébrica:
(3a2b2c3)3

Note que no caso acima existem potências fora e dentro dos parênteses. O primeiro passo a ser dado é escrever a expressão na forma de potência de um produto, conservando normalmente os expoentes:
33(a2)3(b2)3(c3)3

Na sequência, é necessário realizar as operações de multiplicação com os expoentes de cada fator, o que resultará em:
33a6b6c9

Como existe apenas um número conhecido dentro os fatores da expressão, a operação de potenciação deve ser feita apenas com ele, uma vez que nos demais fatores os resultados estão dados. Portanto, o resultado final da expressão algébrica descrita acima será:
9a6b6c9

Assim, diante do que foi exposto, é possível concluir que a potenciação de monômios é muito mais simples do que ela pode parecer à primeira vista, em especial para os alunos que costumam apresentar dificuldades em matemática.

Para não cair em nenhum tipo de armadilha que possa eventualmente levar a erros durante a resolução, é fundamental ter em mente as propriedades da multiplicação e sempre escrever a expressão algébrica na potência de um produto, mesmo que possa parecer se tratar de uma expressão extremamente simples de ser resolvida.

Lembre-se que a propriedade de potência de um produto não existe em vão. Ela auxilia na melhor visualização da expressão e na diminuição da probabilidade de erros de uma resolução baseada apenas na observação da expressão inicial.

A gênese da matemática

Situar os acontecimentos importantes na história da humanidade foi uma obrigação imposta pelas ciências modernas, em especial a arqueologia, a física e a história, apesar de todas as ciências contar com estudos epistemológicos que localizam, em maior ou menor grau, os acontecimentos relevantes em seu campo de saber e como eles afetaram seu desenvolvimento.

Testes de Comparações Múltiplas

Os testes de comparações múltiplas podem ser considerados como aqueles que são idealizados e organizados antes da ocorrência do experimento, podendo, dessa maneira, atuar como uma complementação do teste F para a variância.

Fração mista

Fração é um termo que vem do latim “fractus” e em português designa “quebrado” ou também “partido”.
Nos estudos da matemática, as frações consistem em uma maneira de efetuar a representação das partes pelos quais um determinado objeto foi dividido.

Lógica

A lógica é uma disciplina proveniente da matemática e é a cada dia mais aplicada em provas de vestibular, concursos públicos e até mesmo no ENEM. Isso porque é uma matéria onde utilizamos nosso raciocínio para resolver os problemas do dia-a-dia. Diferente do que acontece com a matemática mais pura, na lógica resolvemos os problemas sem fazer uso de fórmulas complexas. A resolução destes problemas ocorre através do raciocínio.

2º caso de fatoração: Agrupamento

Nos estudos das equações matemáticas, a fatoração é um procedimento que deve ser utilizado para efetuar a transformação da soma ou também da subtração de alguns termos. O objetivo dessa transformação é simplificar as sentenças matemáticas.

Combinatória

Dentro do contexto da matemática, a Combinatória, também chamada Análise Combinatória, é um segmento que analisa as coleções finitas de objetos que se relacionam com alguns critérios específicos, dando ênfase, mais especificamente, à contagem de elementos nessas coleções. Além disso, a Combinatória pode ser classificada em:

Sistema Métrico Decimal

O sistema métrico decimal é um conjunto de códigos que denominam medidas de forma fácil e identificáveis em qualquer parte do mundo. Parte integrante do sistema de medidas, embora seja capaz de mensurar comprimento, volume e superfície, seu uso principal é com o metro.

Funções de Primeiro Grau

As funções de primeiro grau costumam ser ensinadas ainda no ensino fundamental, e possuem menos complexidade que as de segundo grau. Elas envolvem uma fórmula matemática que possui uma incógnita – normalmente chamada de “x” – a qual deverá ter seu valor descoberto.