Volume de um tronco de cone

Calcular o volume do tronco de um cone exige uma fórmula matemática específica. Apesar disso, não é difícil entender como é feito esse cálculo. Essa fórmula é derivada daquela que utilizamos para calcular o volume de um cone. Como a ideia é calcular a capacidade de seu tronco, temos algumas mudanças.

Primeiramente precisamos dividir o cone em dois. Ou no caso separar o tronco do cone ao meio, num corte transversal. O resultado disso será uma base (com duas circunferências de tamanhos diferentes) e um novo cone menor.

Todo esse processo é feito em um cone circular reto e a partir disso temos que:

B = Base do tronco
H = altura
R = raio maior da base
r = raio menor do novo cone criado a partir da secção.
G = geratriz

Sabendo disso, vamos entender agora como é feito o cálculo do volume do tronco de cone. Vale comentar que para o cálculo do tronco, não usamos o valor da geratriz, apenas da altura, raio maior e raio menor:

Fórmula para tronco de cone

Existe uma fórmula utilizada para calcular o volume do tronco de cone. É obtida a partir da diferença entre o volume do cone antes da secção (ou no caso do cone original) e o volume do cone menor, resultado do corte transversal.

Sabemos que o volume de um cone é calculado pela fórmula:

V = π * r² * h
________
3

Então para chegarmos a fórmula do tronco de cone, sabemos que seu volume é obtido a partir da diferença entre o volume do cone maior (original) e do cone menor (resultado do corte transversal). Assim:

V = π * r² * h π * R² * h
________ – ________
3 3

A partir desse cálculo chegamos então a fórmula:

V = π * h * (R² Rr r²)
_____
3

Onde:

H = altura do tronco do cone
R = raio da base maior (cone original)
r = raio da base menor (cone resultado da secção)

Exemplos

• Exemplo 1:

Considere um cone com 30 cm de altura, raio da base menor 20 cm e raio da base maior 40 cm. Calcule o volume de tronco de cone.

Para calcular o problema sabemos que:

V = π * h * (R² Rr r²)
_____
3

Então…

V = π * 30 * (40² 40*20 20²)
_____
3

Resolvendo o problema, temos que o volume do tronco de cone nesse caso é igual a:

V = 10 π * (1.600 800 400)
V = 28.000 π cm³

• Exemplo 2:

Calcule o volume do tronco de um cone sabendo que sua altura é 5 cm, seu raio da base maior mede 4 cm e seu raio da base menor mede 2cm.

Para calcular o problema sabemos que:

V = π * h * (R² Rr r²)
_____
3

Então…

V = π * 5 * (4² 4*2 2²)
_____
3

Resolvendo o problema, temos que o volume do tronco de cone nesse caso é igual a:

V = 5 π * (16 8 4)
___
3
V = 140 π cm³
_____
3

• Exemplo 3:

Uma caixa d’ água tem o formato do tronco de um cone com as seguintes medidas: altura = 9 metros, raio menor = 7 metros e raio maior = 12 metros. Qual é a capacidade de água dessa caixa?

Para calcular o problema sabemos que:

Se a caixa tem o formato de tronco de um cone, então sua capacidade se refere ao mesmo valor do volume do tronco de cone.

Com isso, usaremos a fórmula:

V = π * h * (R² Rr r²)
_____
3

Então…

V = π * 9 * (12² 12*7 7²)
_____
3

Resolvendo o problema, temos que o volume do tronco de cone nesse caso é igual a:

V = 3 π * (144 84 49)
V = 831 π m³

• Exemplo 4:

Sabemos que um cone tem 13 cm de altura, 11 cm de raio maior e 6 cm de raio menor. Qual o volume do tronco desse cone?

Para calcular o problema sabemos que:

V = π * h * (R² Rr r²)
_____
3

Então…

V = π * 13 * (11² 11*6 6²)
_____
3

Resolvendo o problema, temos que o volume do tronco de cone nesse caso é igual a:

V = 13 π * (121 66 36)
V = 2.899 π cm³
______
3

• Exemplo 5:

Um depósito com formato de tronco de cone possui as seguintes medidas: 10 metros de altura; raio maior: 8 metros; raio menor: 5 metros. Pretende-se estocar grãos de milho nesse depósito. Qual é sua capacidade máxima?

Para calcular o problema sabemos que:

Se o depósito tem o formato de tronco de um cone, então sua capacidade se refere ao mesmo valor do volume do tronco de cone.

Com isso, usaremos a fórmula:

V = π * h * (R² Rr r²)
_____
3

Então…

V = π * 10 * (8² 8*5 5²)
_____
3

Resolvendo o problema, temos que o volume do tronco de cone nesse caso é igual a:

V = 10 π * (64 40 25)
V = 430 π m³

Como você pode ver, calcular o volume de tronco de um cone não é nem um pouco complicado. Inclusive, como vimos no exemplo 3 e 5, podemos usar a fórmula para descobrir a capacidade de um depósito ou caixa.