Volume de um tronco de cone
Calcular o volume do tronco de um cone exige uma fórmula matemática específica. Apesar disso, não é difícil entender como é feito esse cálculo. Essa fórmula é derivada daquela que utilizamos para calcular o volume de um cone. Como a ideia é calcular a capacidade de seu tronco, temos algumas mudanças.
Primeiramente precisamos dividir o cone em dois. Ou no caso separar o tronco do cone ao meio, num corte transversal. O resultado disso será uma base (com duas circunferências de tamanhos diferentes) e um novo cone menor.
Todo esse processo é feito em um cone circular reto e a partir disso temos que:
B = Base do tronco
H = altura
R = raio maior da base
r = raio menor do novo cone criado a partir da secção.
G = geratriz
Sabendo disso, vamos entender agora como é feito o cálculo do volume do tronco de cone. Vale comentar que para o cálculo do tronco, não usamos o valor da geratriz, apenas da altura, raio maior e raio menor:
Fórmula para tronco de cone
Existe uma fórmula utilizada para calcular o volume do tronco de cone. É obtida a partir da diferença entre o volume do cone antes da secção (ou no caso do cone original) e o volume do cone menor, resultado do corte transversal.
Sabemos que o volume de um cone é calculado pela fórmula:
V = π * r² * h
________
3
Então para chegarmos a fórmula do tronco de cone, sabemos que seu volume é obtido a partir da diferença entre o volume do cone maior (original) e do cone menor (resultado do corte transversal). Assim:
V = π * r² * h π * R² * h
________ – ________
3 3
A partir desse cálculo chegamos então a fórmula:
V = π * h * (R² Rr r²)
_____
3
Onde:
H = altura do tronco do cone
R = raio da base maior (cone original)
r = raio da base menor (cone resultado da secção)
Exemplos
• Exemplo 1:
Considere um cone com 30 cm de altura, raio da base menor 20 cm e raio da base maior 40 cm. Calcule o volume de tronco de cone.
Para calcular o problema sabemos que:
V = π * h * (R² Rr r²)
_____
3
Então…
V = π * 30 * (40² 40*20 20²)
_____
3
Resolvendo o problema, temos que o volume do tronco de cone nesse caso é igual a:
V = 10 π * (1.600 800 400)
V = 28.000 π cm³
• Exemplo 2:
Calcule o volume do tronco de um cone sabendo que sua altura é 5 cm, seu raio da base maior mede 4 cm e seu raio da base menor mede 2cm.
Para calcular o problema sabemos que:
V = π * h * (R² Rr r²)
_____
3
Então…
V = π * 5 * (4² 4*2 2²)
_____
3
Resolvendo o problema, temos que o volume do tronco de cone nesse caso é igual a:
V = 5 π * (16 8 4)
___
3
V = 140 π cm³
_____
3
• Exemplo 3:
Uma caixa d’ água tem o formato do tronco de um cone com as seguintes medidas: altura = 9 metros, raio menor = 7 metros e raio maior = 12 metros. Qual é a capacidade de água dessa caixa?
Para calcular o problema sabemos que:
Se a caixa tem o formato de tronco de um cone, então sua capacidade se refere ao mesmo valor do volume do tronco de cone.
Com isso, usaremos a fórmula:
V = π * h * (R² Rr r²)
_____
3
Então…
V = π * 9 * (12² 12*7 7²)
_____
3
Resolvendo o problema, temos que o volume do tronco de cone nesse caso é igual a:
V = 3 π * (144 84 49)
V = 831 π m³
• Exemplo 4:
Sabemos que um cone tem 13 cm de altura, 11 cm de raio maior e 6 cm de raio menor. Qual o volume do tronco desse cone?
Para calcular o problema sabemos que:
V = π * h * (R² Rr r²)
_____
3
Então…
V = π * 13 * (11² 11*6 6²)
_____
3
Resolvendo o problema, temos que o volume do tronco de cone nesse caso é igual a:
V = 13 π * (121 66 36)
V = 2.899 π cm³
______
3
• Exemplo 5:
Um depósito com formato de tronco de cone possui as seguintes medidas: 10 metros de altura; raio maior: 8 metros; raio menor: 5 metros. Pretende-se estocar grãos de milho nesse depósito. Qual é sua capacidade máxima?
Para calcular o problema sabemos que:
Se o depósito tem o formato de tronco de um cone, então sua capacidade se refere ao mesmo valor do volume do tronco de cone.
Com isso, usaremos a fórmula:
V = π * h * (R² Rr r²)
_____
3
Então…
V = π * 10 * (8² 8*5 5²)
_____
3
Resolvendo o problema, temos que o volume do tronco de cone nesse caso é igual a:
V = 10 π * (64 40 25)
V = 430 π m³
Como você pode ver, calcular o volume de tronco de um cone não é nem um pouco complicado. Inclusive, como vimos no exemplo 3 e 5, podemos usar a fórmula para descobrir a capacidade de um depósito ou caixa.