2º caso de fatoração: Agrupamento


Nos estudos das equações matemáticas, a fatoração é um procedimento que deve ser utilizado para efetuar a transformação da soma ou também da subtração de alguns termos. O objetivo dessa transformação é simplificar as sentenças matemáticas.
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Nesse caso, é possível citar que um exemplo bem básico de fatoração é efetuar a divisão de um determinado número pelo menor número primo.

Os principais tipos de fatoração

Existem diferentes tipos de fatoração. Nesse caso, é possível citar:

– Fator comum em evidência: Nesse tipo de fatoração ocorre a verificação de cada um dos algarismos para determinar se é possível dividir os coeficientes de maneira exata por algum determinado número.

– Fatoração por Agrupamento: Nesse caso são reunidos todos os termos da equação para, caso seja possível, colocar todos em evidência.

– Diferença de dois quadrados: Este tipo afirma que a expressão toda (ou apenas parte dela) tem a possibilidade de ser o resultado de um produto de soma pela sua diferença.

– Trinômio Quadrado Perfeito: É aplicada quando há um trinômio, que é um polinômio que conta com três monômios desprovidos de termos iguais. Nesse tipo de fatoração, toda a expressão (ou apenas parte dela), é o resultado do produto, sendo que ele é do tipo a + b².

– Trinômio do Segundo Grau: Nesse caso de fatoração o trinômio não tem a necessidade de constituir um quadrado perfeito, mas sim, efetuar a adição dos dois últimos termos.

A Fatoração por agrupamento

O segundo caso de fatoração, que é a fatoração por agrupamento, consiste na união dos termos da equação com o intuito de colocá-los em evidência.

Um exemplo do caso de fatoração por agrupamento pode ser a equação:
x² + xy + xz + yz

Para solucionar esse caso, é necessário realizar o agrupamento dos termos em dois pares e, em seguida, colocar o fator comum em evidência em cada um desses dois desses termos. Sendo assim:

– O primeiro termo é x² + xy = x . (x + y)

– O segundo termo é xz + yz = z . (x + y)

O que efetua a multiplicação do fator (x + y) para a obtenção do primeiro termo x(x+y)? Nesse caso, a resposta encontrada é X.

O que efetua a multiplicação do fator comum (x + y) para a obtenção do segundo termo z(x + y)?
Nesse caso, a resposta encontrada é Z.

Sendo assim, (x + y) . (x + z) consiste na forma fatorada da expressão x² + xy + xz + xy.
Como nem sempre em uma equação os termos apresentados contam fatores considerados em comum, que é o exemplo de alguns polinômios, é possível utilizar então a fatoração por agrupamento.

Alguns exemplos de fatoração por agrupamento são:

– Exemplo 1:
5mn + 45 mn + 2n + 18=
5m . (n + 9) + 2 . (n+9)
(n+9) . (5m + 2)

– Exemplo 2:
4ax – 2a + 10xy – 5y
2a . (2x – 1) + 5y . (2x – 1)
(2x – 1) . (y² + b)

– Exemplo 3:
a³ – 2a² + 2a – 4=
a² . (a – 2) +2 . (a – 2)
(a – 2) . (a² + 2)

Além disso, há alguns conceitos bastante pertinentes para a compreensão dos casos de fatoração. São eles:

– Monômio: Consiste em uma expressão algébrica que é constituída por um coeficiente numérico e uma parte literal, ou seja, é uma expressão matemática que contém tanto números quanto letras.
Um exemplo disso pode ser citado o monômio 4ab², onde o número 4 é considerado o coeficiente e o termo ab² consiste na sua parte literal.

– Binômio: Consiste em uma expressão algébrica que conta com dois termos unidos por um sinal positivo ou negativo.
Um exemplo disso é o binômio 3xy + 3xy.

Além disso, existe também o Binômio de Newton, formulado pelo conhecido físico britânico Isaac Newton. No binômio de Newton, temos então a fórmula é (a + b)² = a² + 2ab + b².

– Trinômio: Consiste em uma expressão algébrica que conta com três termos.
Um exemplo de trinômio é a expressão ax² + bx + c. Nesse caso os termos a, b e c são os termos conhecidos e o x, por sua vez, é considerada a variável.

– Polinômio: Consiste em uma expressão algébrica constituída pela adição de monômios.
Um exemplo de polinômio pode ser a equação 5xy + 3x + 8yw

As operações que envolvem os polinômios podem ser:

– Adição e Subtração de polinômios: A adição e subtração compreende a redução dos termos parecidos, bem como operações que relacionam os sinais positivos e negativos entre si.

– Multiplicação de polinômios: Esse tipo de operação pode ser efetuada por meio de multiplicação de um monômio por um monômio, multiplicação de algum número natural com algum polinômio ou também por meio da multiplicação entre polinômios.

– Divisão de polinômios: Esse tipo de operação pode ser realizado por meio da divisão de um polinômio por outro polinômio, bem como pela divisão de um polinômio por um monômio.