Transformações Trigonométricas


Existem diversos assuntos em matemática que são verdadeiramente fascinantes, uma vez que eles permitem calcular coisas que de outra maneira seriam impossíveis e também servem de base para a criação de diversos dispositivos e objetos utilizados em nosso dia a dia.

Transformações Trigonométricas

Dentre tais assuntos, a geometria, com certeza, é um dos mais interessantes, pois pode ser aplicada a uma série de situações de extrema utilidade. Dentro da geometria, este artigo irá focar na trigonometria, ou seja, ramo da matemática responsável por estudar a relação entre dois lados de um triângulo retângulo (aquele em que um dos ângulos internos é igual a 90°) levando em consideração os diferentes valores que os ângulos agudos podem assumir.

Como ficará claro na sequência, ao estudar razões trigonométricas, ficará claro a importância que os conceitos de seno, cosseno e tangente assumem no estudo. Por isso, antes de partir para o assunto de interesse, vale a pena relembrar esses conceitos, que seguem na sequência:

– Seno: dado qualquer triângulo retângulo, o seno de um de seus ângulos agudos é a razão entre o comprimento da hipotenusa e o cateto oposto, isto é, a divisão de um pelo outro;

– Cosseno: do que foi dito acima, pode-se deduzir que o cosseno é o ângulo dado pela divisão entre o valor da hipotenusa e o valor do cateto adjacente;

– Tangente: seguindo a mesma lógica aplicada na definição acima, temos que o ângulo tangente é dado pela razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto do ângulo em questão.

Com esses conceitos em mente, é possível partir com mais precisão para o assunto que aqui interessa: as transformações trigonométricas.

Entendendo as transformações trigonométricas

A primeira coisa a se ter em mente é que o referido conceito deve ser interpretado como sinônimo de cálculo entre arcos feitos de acordo com as razões trigonométricas. Elas são importantes pois permitem calcular os valores do seno, cosseno e tangente de dois ângulos somados, uma vez que essa soma não é dada corretamente somente pela adição de um ângulo ao outro ou, em termos matemáticos, sena senb não é a mesma coisa que sen(a b), sendo está última fórmula a correta.

Existem fórmulas prontas que permitem realizar o cálculo das quatro operações básicas envolvendo as transformações. Como não poderia deixar de ser, vamos começar com as mais simples: a adição e a subtração, por meio das fórmulas capazes de a soma ou subtração do seno, cosseno e tangente de dois arcos.

1. Para calcular a soma e subtração de senos: essas duas operações são dadas, respectivamente, pelas fórmulas sen(a b) = sena.cosb senb.cosa; e sen(a – b) = sena.cosb – senb.cosa;

2. Para calcular a soma e subtração de cossenos: as fórmulas seguem uma lógica diferente da aplicada no tópico anterior (por isso, cuidado), sendo dadas por cos(a b) = cosa·cosb – sena·senb; e cos(a – b) = cosa·cosb sena·senb;

3. Para calcular a adição e subtração de tangente: neste caso, deve-se tomar diversos cuidados pois é necessário considerar as condições de existências, ou seja, as restrições existentes para o uso das fórmulas, pois tanto a fórmula de adição quanto a fórmula de subtração de tangentes só podem ser utilizadas quando a e b são diferentes de π/2 2kπ. onde π corresponde a aproximadamente 3,14 e k é a constante, um número inteiro. Tendo isso em mente, a fórmula de adição de tangentes é tg(a b) = tga tgb/1 – tga·tgb, com 1 tga·tgb ≠ 0; e a subtração dada por tg(a – b) = tga – tgb/1 tga·tgb, com 1 – tga·tgb ≠ 0.

Dessa fórmula é possível deduzir mais 3 quando a = b, ou seja, quando o ângulo a tiver o mesmo valor de b. São elas: sen2a = 2sena·cos; cos2a = cos2a – sen2a; e tg2a = 2tga/1 – tg2a, com a diferente de a ≠ π/2 kπ e de a ≠ π/4 kπ.

Soma e adição na forma de produto

Em algumas situações, as fórmulas descritas acima não poderão ser aplicadas ou darão muito trabalho para que seja possível chegar ao resultado. Quando for este o caso, é possível utilizar as fórmulas de adição e subtração na forma de produto. Essas fórmulas são dadas por:

– sena senb = 2. cos(a b / 2) . cos(a – b / 2);
– sena – senb = 2. cos(a b / 2) . sen(a – b / 2);
– cosa cosb = 2. cos(a b / 2) . cos(a – b / 2);
– cosa – cosb = 2. sen(a b / 2) . sen(a – b / 2);
– tga tgb = sen(a b) / cosa . cosb
– tga – tgb = sen (a – b) / cosa . cosb

As fórmulas vistas acima podem parecer assustadoras à primeira vista, mas assim que são postas em prática por meio de exercícios, você verá que além de terem uma aplicação relativamente tranquila, elas são úteis em uma série de situações, e com certeza serão de grande ajuda para você em algum momento.