Potência de base inteira

A matemática costuma ser a matéria mais temida por estudantes da educação básica, quer seja por estudantes do ensino médio ou quer seja por aqueles do ensino fundamental. De fato, ela pode ser complicada, uma vez que é necessário obedecer uma série de regras para que os cálculos fiquem corretos.

Dentre essas regras, existem por exemplo as condições de existência. Vamos supor que estamos tentando resolver a seguinte operação, bastante simples: 9 / 0. 9 é divisível por números racionais, inteiros, racionais e mesmo irracionais. No entanto, nenhum número é divisível por 0, e é justamente essa a condição de existência dessa operação, ou seja, a conta não pode ser realizada.

Este é apenas um dos muitos exemplos de operações em que é necessário checar a condição de existência e assim poder ou não efetuar a operação. Neste artigo, trabalharemos com uma temática fundamental em matemática: a potenciação, mais especificamente a potenciação de base inteira.

Entendendo o conceito

A potenciação, também chamada de exponenciação, é uma operação matemática que consiste na multiplicação de fatores iguais ou, em outras palavras, quando um número presente na base é multiplicado pela quantidade de vezes determinada pelo expoente. Vamos fazer um exemplo bastante simples: 2 elevado à segunda potência (2).

Segundo a definição acima, número da base deve ser multiplicado pela quantidade presente no expoente. Assim, 2 x 2 = 4, portanto, 2 elevado à segunda potência é igual a 4. Se o expoente fosse 3, deveríamos fazer 2 x 2 x 2 = 8. Portanto, 2 elevado à terceira potência é igual a 8. 2 elevado à quarta potência é igual 16, elevado à quinta potência igual a 32, e assim por diante.

Vale ressaltar que existem algumas condições de existência que devem ser checadas sempre que se trabalha com exponenciação. Quando qualquer número é elevado à potência 1, o resultado sempre será o próprio número pois, para continuar em nosso exemplo, 2 x 1 = 1. Quando o número da base é elevado a 0, o resultado sempre dará 0 pois 2 x 0 = 0. No entanto, quando a base for 0 elevado a 0, o resultado será 1 ou indeterminado.

Outra importante observação que deve ser feita é em relação às operações exponenciais que possuem incógnitas. Quando a incógnita está na base, a operação pode ser facilmente resolvida. Como exemplo, podemos citar a operação x elevado à terceira potência é igual a -8. Já vimos que o número 2 elevado à terceira potência é igual a 8, e como o resultado está 8 negativo, pode-se facilmente concluir que x corresponde a -2, pois -2 x -2 x -2 = -8.

No entanto, a mesma coisa não pode ser dita quando a incógnita corresponde ao expoente, pois quando temos -2 elevado à potência x igual a -8, a solução sempre será inexistente, independente de qual número esteja na base.

Operações com potências de base inteira

As operações com expoentes são uma das dúvidas mais comuns dos estudantes, e isso se deve ao fato de cada tipo de potenciação requerer uma regra específica para que o cálculo seja realizado. São elas que veremos na sequência.

-Quando existe a multiplicação por duas bases iguais com expoentes diferentes. Exemplo: supondo que seja necessário fazer a operação 2 elevado à terceira potência multiplicado por 2 elevado à quinta potência, o resultado deve ser calculado conservando a base e somando os expoentes. Assim, o resultado dessa operação será 2 elevado à oitava potência, que é igual a 256;

-Multiplicação de uma base com dois expoentes: é muito comum se deparar com contas do tipo 2 elevado à segunda potência elevado à terceira potência. Nestes casos, é necessário conservar a base e multiplicar os expoentes. Assim, 2 x 3 = 6, portanto o resultado será dado por 2 elevado à sexta potência, que dará 64;

-Multiplicação de duas bases diferentes com expoentes iguais. Neste caso, a base deve ser multiplicada e o expoente mantido. Portanto, 2 elevado a 3 e 3 elevado a 3 será dado por 2 x 3 elevado à terceira potência, que será igual a 6 elevado a 3, igual a 72;

-Quando na base é uma fração com números diferentes: outra situação bastante comum é contas exponenciais nas quais existe uma fração na base elevada a determinado expoente. Neste caso, ambas partes da fração devem ser elevadas ao expoente, como em 4/2 elevado a 2, que será 4 elevado a 2 dividido por 2 elevado a 2, resultando em 8 dividido por 4, que é igual a 2;

-Quando a base é uma fração de partes iguais e expoentes diferentes: existem casos como 4 elevado a 4 dividido por 4 elevado a 2. Nestes casos, o número da base deve ser mantido e o segundo expoente ser subtraído por primeiro, que no caso do exemplo será 4 – 2 = 2, portanto o resultado será dado por 4 elevado a 2, igual a 8.