Sólidos platônicos


Dentro do mundo da matemática existe a geometria, responsável pelo estudo do espaço e das figuras que o ocupam. Para muitas pessoas, a matemática se resume a números, porém Platão já pensava diferente. Enquanto a escola Pitagórica levava como lema a ideia de “tudo são números”, a famosa Academia (escola fundada por Platão) já deixava um recado em sua porta: “Que ninguém que ignore a geometria entre”.

Sólidos platônicos

Não é a toa que um dos elementos da geometria são os sólidos platônicos. Esses são convexos, em que suas arestas dão forma a polígonos planos, regulares e congruentes. Esses sólidos possuem essa nomenclatura graças a Platão, responsável pela sua descoberta (400 a.C.).

Vale destacar que existem apenas cinco sólidos que conseguem reunir essas condições (todas as faces como polígonos regulares):
• Tetraedro: poliedro regular que possui quatro faces (triângulos equiláteros), quatro vértices e seis arestas. Pode formar-se a partir da junção de quatro triângulos.
• Hexaedro (cubo): possui seis faces (quadrados), oito vértices e duas arestas. O cubo forma-se a partir de um molde que contenha seis quadrados.
• Octaedro: é um poliedro regular com oito faces (triângulos equiláteros), com seis vértices e 12 arestas. Pode ser formado através da junção de oito triângulos equiláteros.
• Dodecaedro: possui 12 faces (pentágonos), 20 vértices e 30 arestas. Esse poliedro regular pode ser formado a partir de 20 pentágonos.
• Icosaedro: poliedro regular que possui 20 faces (triângulos equiláteros), 12 vértices e 30 arestas. O icosaedro forma-se de um molde de 20 triângulos equiláteros.

Platão e os sólidos platônicos

Platão era um matemático que apreciava tanto os conhecimentos geométricos que afirmava com segurança e propriedade que a geometria tinha a posse da chave que desvendava todos os segredos presentes por trás do universo. Não é a toa que ele estabeleceu relações entre os poliedros e o Universo. Uma delas foi a associação do cubo, icosaedro, tetraedro e octaedro (respectivamente) com os elementos terra, água, fogo e ar. A maior dificuldade foi em relacionar o dodecaedro, que mais tarde ficou responsável pelo próprio Universo.

O entusiasmo do povo antigo com a geometria fez com que os sólidos platônicos tivessem grande peso e importância no universo. Acreditava-se que toda a matéria era formada através dos sólidos platônicos, assim como acreditamos que a matéria seja feita através das combinações de átomos.

Relação de Euler e os sólidos platônicos

Aqueles que seguiam a linha de Pitágoras tinham ciência da existência de apenas cinco sólidos regulares convexos, e também que cada um podia ser delineado de maneira rigorosa por uma esfera. Euclides descreveu esses sólidos no seu livro Elementos (parte XIII, proposição 13 à proposição 17), descrevendo o argumento de que apenas esses são os sólidos regulares. Já o matemático Euler montou uma demonstração desse resultado.

Segundo ele, o número de vértices, arestas e faces obedecem a seguinte relação: V−A F=2. Aqui V equivale ao número de vértices da figura, enquanto A faz menção ao número de arestas e F significa o número de faces. Dessa maneira temos a Relação de Euler. Vale destacar que a constante 2 irá depender sempre da forma do espaço topológico.

Fazendo uma ligação dos centros das faces adjacentes dos sólidos platônicos é possível obter outro sólido (porém de tamanho menor), que também será considerado sólido platônico. Esse sólido resultante, obtido a partir do inicial, podemos nomear como sólido dual.

Sólidos platônicos presentes na natureza

Como já dito anteriormente, a existência dos sólidos platônicos já era de conhecimento dos pitagóricos. Dessa maneira, os egípcios tiveram a brilhante ideia de utilizar de alguns elementos sólidos platônicos em sua arquitetura e também em outros objetos construídos por eles.

Estes sólidos também se fazem presentes na natureza (através de pedras preciosas, organismos vivos, etc.) e também na cultura humana (artes como pinturas, esculturas, arquitetura, etc.). Quando presentes na arquitetura, esses sólidos platônicos são encontrados graças a sua simetria e beleza, o que faz com que seja estimulado o interesse do ser humano, não somente hoje como através dos séculos. Muitas são as formas cristalinas naturais dos sólidos platônicos. Como exemplo, trazemos a calcopirita (tetraedro), galena (hexaedro) e da magnetita (octaedro).

Na área da saúde também é possível identificarmos exemplos de sólidos platônicos. Diversos vírus, como o da herpes, conseguem assumir a forma de um icosaedro regular. Isso é explicado por conta das estruturas virais serem formadas por diversas subunidades proteicas (iguais e similares), sendo o icosaedro a forma mais simples de originar essas subunidades. Faz-se uso de um poliedro regular por conta dele poder ser construído de uma unidade proteica básica, sendo repetido diversas vezes. Isso traz economia ao espaço no genoma viral.

Na meteorologia e climatologia é possível encontrar modelos numéricos globais do fluxo atmosférico que utilizam malhas com referências em um icosaedro (refinado por subdivisão). Esses têm se destacado diante dos modelos que fazem utilização das coordenadas de longitude e latitude.