Decomposição de vetores

Os vetores consistem em ferramentas matemáticas igualmente fundamentais para a física. A definição dos vetores, por sua vez, caracteriza-os como fragmentos de reta devidamente orientados e capazes de representar grandezas do tipo vetoriais.

Sendo assim, quando falamos das grandezas escalares podemos utilizar uma única palavra para expressar a medida, como “esse corpo tem 50 kg”. Mas, ao nos referimos às grandezas vetoriais, a expressão confere a apenas uma parte da medida. Um exemplo é quando o problema matemático informa qual é a força aplicada ao corpo, mas sem dizer qual é o sentido ou a direção desta mesma força.

O que é a decomposição de vetores?

A decomposição de vetores consiste em uma das mais comuns operações matemáticas feitas com vetores. Ela é definida a partir da determinação dos valores dos componentes localizados nos eixos x e y (do plano cartesiano) de cada vetor.

De modo resumido, a decomposição de vetores é trabalhada quando há a necessidade de fazer operações de soma ou de subtração em vetores que estão perpendiculares um em relação ao outro. Um exemplo neste caso seria a realização da soma das grandezas vetoriais em vetores que estão em disposição perpendicular entre si.

A seguir, vamos conferir mais sobre a decomposição de vetores.

Quando dois vetores são somados, apenas um vetor será o seu resultado, sendo ele conhecido então como “vetor resultante”. Esse vetor será definido como o equivalente a soma dos outros dois vetores da problemática.

Na decomposição dos vetores, esse procedimento ocorre de modo contrário (ou inverso).

Quando temos o vetor “a”, é possível encontrarmos outros dois vetores, sendo eles o vetor ax e o ay. Sendo assim, a decomposição ocorre pela soma do ax + ay, que irá resultar no a

Para que a decomposição de vetores ocorra, ax e ay são vetores que estão dispostos de modo perpendicular entre si. Não à toa, a decomposição ocorre em sentido ortogonal.

Para que você compreenda melhor a definição da decomposição de vetores, vamos lá.

Imagine que o vetor ay será deslocado, no plano cartesiano, para o outro extremo (onde temos o vetor ax). Quando isso acontece, o vetor a e os seus dois componentes ortogonais (ay e ax) irão formar um triângulo do tipo retângulo.

Assim que a relação de trigonometria for aplicada a esse tipo de triângulo, será possível definir o módulo de base dos componentes vertical e horizontal do vetor principal, ou seja, o a (o que ocorre graças à formação do ângulo de 0 graus na ponta do triângulo).

Por fim nessa problemática teremos as seguintes definições:

• Expressão do módulo de base horizontal

Cos0 = cateto adjacente a0/hipotenusa
cos0 = ax/a = ax =a.cos0

• Expressão do módulo de base vertical

Sen0 = cateto oposto a0/hipotenusa
Cos0 = ay/a = ay = a.sen0

Neste sentido, como é triângulo retângulo é formado por a e seus dois componentes (ax e ay), basta à aplicação do teorema de Pitágoras para que tenhamos a definição final do mesmo.

Neste sentido, a decomposição de vetores é a seguinte: a² = a²x + a²y. Essa é a relação entre o vetor principal e os seus dois vetores de base ortogonais.

Exemplo da decomposição vetorial

A seguir, confira um exemplo aplicado de decomposição vetorial.

PROBLEMA: imaginemos uma força (F) com módulo de 100N. Essa força tem um ângulo aplicado de 30 graus no eixo X. A seguir, determine quais são os componentes ortogonais Fx e Fy do vetor.

O cálculo que levará ao resultado é o seguinte:

• Para a definição do componente Fx

Fx = F. cos 0
Fx = 100. Cos30º
Fx = 100. Raiz de 3/2
Fx = 50 raiz de 3N

• Para a definição do componente Fy

Fy = F. sen 0
Fy = 100. Sen30º
Fy = 100 x 0,5
Fy = 50 N

Ao somarmos ambos os resultados, ou seja, 50 N e 50 raiz de 3 N, não chegamos ao valor inicial de F, ou seja, o valor de 100N.

Sendo assim, é fundamental que o estudante saiba diferenciar as operações do tipo vetoriais com as operações algébricas, já que elas são realizadas de modo diferenciado.

Ao somar os resultados de Fx e Fy vetorialmente, teremos:

F = raiz de F²x + F²y
F = raiz de 50 raiz de 3² + 50²
F = raiz de 2.500 x 3 + 2500
F = raiz de 7500 + 2500
F = raiz de 10000
F = 100 N.

Sendo assim, ao realizar a soma em operação vetorial, o valor de Fx e Fy corresponde à força de 100N.