Classificação de um Sistema de Equações


Os conceitos da matemática nem sempre são compreensíveis ao primeiro olhar. Isso porque a absorção da disciplina, por ser prática, demora um pouco mais do que o normal. E para evitar que isso aconteça, neste artigo trouxemos maiores informações sobre a classificação de um sistema de equações, também conhecido como sistema linear.

Classificação de um Sistema de Equações

Vamos conferir?

O que é classificação de um sistema de equações?

Qualquer tipo de sistema linear é passível da classificação de um sistema de equações. A forma de classificá-lo, por sua vez, irá depender da quantidade de soluções que compõem a equação.

Mas afinal, o que é um sistema do tipo linear?

Um sistema linear nada mais é do que um conjunto de equações do tipo lineares na variável x. Ele deve ter ‘m’ equações e ‘n’ variáveis.

Para resolver um sistema do tipo linear é necessário saber quais são as condições de tal solução. Essas condições podem ser três, sendo elas:

1. Uma única solução – ou seja, quando apenas um resultado é o correto para a resolução do sistema linear;

2. Soluções infinitas – quando muitas são as formas de resolver o sistema, e por isso, é possível chegar ao resultado final utilizando diversos ‘caminhos’;

3. Nenhuma solução – ainda é possível que o sistema de equações simplesmente não tenha nenhuma resolução.

Vale ainda lembrar que um sistema do tipo linear é um sinônimo para caracterizar um grupo de equações do tipo lineares.

Como ocorre à classificação de um sistema de equações?

É possível classificar os sistemas de equações de três diferentes formas, como já vimos anteriormente. São elas;

1. SPD: Sistema Possível e Determinado (para soluções únicas);
2. SPI: Sistema Possível e Indeterminado (para soluções infinitas/variáveis);
3. SI: Sistema Impossível (quando simplesmente não há resolução para o sistema linear).

Neste sentido, vamos conferir a seguir alguns exemplos de como ocorre à classificação de um sistema de equações na prática.

• SPD – Sistema Possível e Determinado

Para resoluções de sistemas lineares possíveis e determinados, ou seja, com apenas uma solução, temos os seguintes exemplos:

– Exemplo 1:

Vamos imaginar o seguinte par ordenado e sistema de equações:

Par ordenado: 2 e 3

Sistema de equações:

M + n = 5
4n – 2m = 2

Neste caso, é possível afirmar que o par ordenado existente (2,3) consiste na única possível solução para tal sistema linear, motivo pelo qual ele se torna um representante “SPD”.

– Exemplo 2:

Imagine o seguinte par ordenado e sistema:

Par ordenado: 4 e 1

Sistema linear:

X + y = 5
X – y = 3

Neste caso, mais uma vez o par ordenado é a única solução possível para o sistema.

• SPI – Sistema Impossível e Indeterminado

Já o SPI, como visto anteriormente, é um sistema que pode ter as mais infinitas resoluções. Sendo assim, neste tipo de sistema linear, os valores de y, x e demais letras podem assumir variados valores.

Compreenda melhor nos exemplos a seguir:

-Exemplo 1:

Pares ordenados: 0 e 4; 1 e 3; 3 e 1; 2 e 2.

Sistema de equação:

x+ y = 4
0x – 0y = 0.

– Exemplo 2:

Considere o seguinte sistema de lineares:

Z – y + x = 2
4z – 4y + 4x = 8

Como podemos ver, muitas são as possíveis soluções para o sistema linear exemplificado acima.

Só para ter uma ideia, algumas soluções seriam: (1 1 e 2), (1 0 e 1), (0 2 e 4) e assim por diante. Não à toa, nós o classificamos como um SPI – Sistema Possível, porém, indeterminado de uma só maneira.

– Exemplo 3:

No sistema a seguir:

2x + 2y = 6
X + y = 3

Podemos observar uma grande variedade de soluções, sendo algumas delas:

Opção 1:

X + y = 3
X = 3 – y

Opção 2:

3x + 2y = 6
2x (3-y) + 2y = 6
6- 2y +2y = 6
0y = 6 – 6
0y = 0


Em ambos os casos, é possível encontrar uma grande variedade de pares ordenados que venham a satisfazer os resultados da equação.

• SI – Sistema Impossível

Por fim, temos ainda os sistemas que são impossíveis, ou seja, que não apresentam nenhum tipo de resolução/solução.

Alguns exemplos são:

– Exemplo 1:

3y – 3x = 15
3y – 3x = -9

Observando o sistema linear anterior, sabemos que não há nenhum tipo de par ordenado que venha a satisfazer as equações. Sendo assim, o sistema se torna impossível – sem nenhuma resolução.

– Exemplo 2:

Observe o sistema linear a seguir:

X + y = 5
X + y = 9

Para essa equação, também não temos nenhum par ordenado que venha a possibilitar a resolução das incógnitas. Mais uma vez, o sistema linear pode ser classificado como impossível.


Por fim, devemos destacar que os sistemas lineares podem ser tanto possíveis como impossíveis. Quando possíveis, eles podem ser classificados ainda entre determinados (quando há uma única solução) ou como indeterminados (quando há várias formas de chegar à resolução do sistema linear).