Cubo da soma e Cubo da diferença

A fatoração é uma das técnicas algébricas mais importantes existentes na matemática, uma vez que ela permite a resolução de uma série de situações que, ou seriam muito extensas de serem resolvidas sem a fatoração ou que mesmo não são possíveis de resolução. Assim, antes de partir para o assunto que verdadeiramente interessa neste artigo. É necessário esclarecer no que a fatoração consiste.

Dito de maneira simples, a fatoração pode ser considerada como uma técnica que permite transformar uma soma em um produto desde que se obedeça a determinadas condições. Trata-se de uma técnica bastante pertinente para uma série de aplicações matemáticas.

Uma das áreas de aplicação mais usual da fatoração é na resolução de polinômios. No entanto, existem diversas outras aplicações na química, na matemática e nos campos em que essas ciências são utilizadas, como nas engenharias e estudos experimentais. Esclarecido ao que se refere à macro área na qual o cubo da soma e da diferença se inserem, é possível passar ao principal assunto deste artigo.

Cubo da soma
A utilização desta técnica algébrica é amplamente utilizada pois dispensa a necessidade de realização de distributivas, que tendem a tornar os cálculos muito mais extensos do que deveriam ser, o que por sua vez leva a maiores chances de erro.

Dessa maneira, a utilização dessa técnica algébrica é bem-vinda em todos os casos em que puder ser aplicada, uma vez que mesmo que necessite de memorização, se trata de um processo simples e capaz de economizar bastante tempo e levar a menos erros na realização dos cálculos necessários à resolução de determinada questão. Considere uma expressão do tipo (x y)3.

Mesmo que a expressão acima possa parecer simples à primeira vista, quando se trabalha com números concretos, ela pode ser bem difícil e demorada de ser resolvida. No entanto, utilizando o cubo da soma, se torna bastante simples. Para isso, basta seguir os passos abaixo:

1. O primeiro passo consiste em elevar o primeiro termo da expressão ao cubo: x(3);

2. Na sequência, é necessário realizar uma multiplicação simples mas na qual muitas pessoas erram, que consiste em multiplicar por 3 vezes o quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo: 3. (x)2. y = 9x(2)y;

3. No terceiro passo, deve-se multiplicar três vezes o primeiro termo pelo pelo quadrado do segundo termo: 3. x . (y)2 = 3x(y)2;

4. Na sequência, é o segundo termo que deve ser elevado ao cubo: y(3);

5. Por fim, basta somar os resultados obtidos em todos os passos acima para obter a expressão fatorada: (x)3 9x(2)y 3x(y)3 (y)3.

Utilizando somente variáveis como na explicação, o conceito pode parecer um pouco abstrato, mas com a utilização de números concreto e bastante prática, se torna bastante simples.

Exemplo 1: (3x 4z)3
– (3x)3;
– 3 . (3x)2 . 4z = 108(x)2z;
– 3. 3x . (4z)2 = 36x(z)2;
– (4z)3 = 64(z)3.

Portanto, o resultado fatorado da expressão será 3x(3) 108(x)2z 36x(y)2 64(z)3.

Exemplo 2: (3x 5)3
– (3x)3;
– 3 . (3x)2 . 5 = (135x)2;
– 3 . 3x . (5)2 = 225x(2);
– (5)3 = 135.

Portanto, o resultado da fatoração dará a expressão 3(x)3 135(x)2 225(x)2 135.

Cubo da diferença

Essa técnica de fatoração se assemelha bastante à primeira, mas como o próprio nome indica, se trata da DIFERENÇA de cubos. Assim, deve-se estar sempre atento ao sinal para que o resultado da fatoração não interfira no resultado final, pois um simples erro de sinal pode comprometer o resultado.

Os passos são os mesmos:
1. O primeiro passo consiste em elevar o primeiro termo da expressão ao cubo: x(3);

2. Na sequência, é necessário realizar uma multiplicação simples mas na qual muitas pessoas erram, que consiste em multiplicar por 3 vezes o quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo: 3. (x)2. y = 9x(2)y;

3. No terceiro passo, deve-se multiplicar três vezes o primeiro termo pelo pelo quadrado do segundo termo: 3. x . (y)2 = (3xy)2;

4. Na sequência, é o segundo termo que deve ser elevado ao cubo: y(3);

No entanto, no momento de somar o resultado, o único sinal de positivo que haverá será entre o segundo e o terceiro termo. Como se trata de uma subtração, os demais sinais serão negativos.

Assim, a expressão ficará (x)3 – 9x(2)y 3x(y)3 – (y)3.

Vamos passar a um exemplo prático para que essa diferença fique bem clara:
(5x – 3)3
– (5x)3 = 125(x)3;
– 3 . (5x)2 . 3 = 225(x)2;
– 3 . 5x . (3)3 = 405(x)3;
– (3)3 = 27.

Portanto, o resultado da expressão fatorada será dado pela expressão 125(x)3 – 225(x)2 405(x)2 – 27.

Passando a um exemplo um pouco mais complexo, uma vez que envolve duas incógnitas, temos (2x 6y)3:
– (2x)3 = 8(x)3;
– 3 . (2x)2 . 6y = (72x)2y;
– 3 . 2x . (6y)2 = 216x(y)2;
– (6y)3 = 216(y)3.

Portanto, a expressão final será dada por 8(x)3 – 72(x)2y 216x(y)2 – 216(y)3.

Assim, mesmo que pareça um assunto complicado, tanto o cubo da diferença quanto da soma são na verdade facilitadores da cálculo, e por isso devem ser utilizados nas mais diferentes situações que permiti-los.