Dízimas Periódicas

Para estudar as dízimas periódicas, que também podem ser chamadas pela linguagem matemática de “numerais decimais periódicos”, em primeiro lugar é preciso compreender que elas se dividem em duas formas, sendo: dízima periódica simples e dízima periódica composta. Nesse primeiro momento, vamos entender como funciona o processo para identificar as dízimas periódicas simples. Acompanhe abaixo.

Dízima Periódica Simples

Tomemos como exemplo

a) 3,555…

Para verificar se essa é uma dízima periódica simples, analise a parte decimal. E o que seria a parte decimal? São exatamente os números que estão colocados depois da vírgula, neste caso “555…”, que representam o período.

Assim sendo, o Período do exemplo a) 3,555… é igual a 5, pois o período é exatamente a parte que se repete infinitas vezes.

E por que essa é uma dízima periódica simples? É justamente porque, na parte decimal antes do período, não há nenhum número que seja diferente dele. Se o exemplo fosse b) 3,9555…, esta já não poderia ser classificada como uma dízima periódica simples, pois o primeiro número após a vírgula é diferente do restante que se repete infinitas vezes.

Outro exemplo de uma dízima periódica simples é:

c) 4,121212…

Você pode ter ficado um pouco confuso, porém, essa também é uma dízima periódica simples, pois o seu Período é igual a 12. Note que depois da vírgula nenhum número diferente de 12 aparece e é isso que faz com que essa dízima possa ser classificada como periódica simples.

Dízima Periódica Composta

Seguindo adiante com os estudos, agora que você já sabe identificar uma dízima periódica simples, vamos compreender como identificar as dízimas periódicas compostas. O procedimento é basicamente o mesmo, só que no caso das compostas há sempre um número diferente antes do período.

Retomemos o exemplo

b) 3, 9555…

Note que o período, nesse caso, é o 5 que se repete infinitas vezes. No entanto, antes de surgir o período da dízima, podemos ver que há um número diferente, que é o 9. E em todas as vezes em que há um número diferente do período chamamos à essa dízima de dízima periódica composta.

Outros exemplos:

d) 7, 8999…

e) 1, 25444…

Fração geratriz

Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é obtida através de uma fração. A essa fração, chamamos de “fração geratriz”, que é a que justamente dá origem às dízimas como a) 3,555.. e b) 3,9555…, entre as outras aqui citadas e às infinitas outras que existem na matemática. Mas, como calcular e obter a fração geratriz? Aprenda a fazer isso seguindo o raciocínio abaixo:

Vamos utilizar novamente o exemplo a) 3,555…

Primeiramente, utilize o número que vem antes do período (que nesse caso é o 3), junte o número que corresponde ao período (que nesse caso é o 5) e subtraia utilizando, novamente, o número anterior ao período (que é o 3). Tudo isso deve ser dividido sempre pelo número 9. Assim, você deverá ter a seguinte equação:

a) 3,555… = (35 – 3) / 9

E fazendo as contas teremos:

a) 3,555… = 32 / 9

Para confirmar, utilize uma calculadora e comprove o resultado. 32 dividido por 9 é igual a 3,555…

No entanto, se a dízima periódica fosse o exemplo c) 4,121212…, a conta seria diferente, pois, quando o período é composto por mais de um número (como nesse caso em que o Período = 12) é preciso acrescentar mais um 9. Acompanhe como ficaria a sua equação:

c) 4,121212… = (412 – 4) / 99

Fazendo as contas, teríamos:

c) 4,121212… = 408 / 99

Mais uma vez, para confirmar utilize a sua calculadora e verifique que a fração geratriz corresponde exatamente à dízima periódica simples que utilizamos nesse exemplo.

O importante é entender que a quantidade de 9 utilizado para a divisão corresponde à quantidade de números que formam o período. Assim sendo se o período fosse, por exemplo, P = 102, você teria de utilizar o número 999 para a sua divisão, haja vista que o período é composto por 3 números.

Para buscarmos a fração geratriz das dízimas periódicas compostas, por sua vez, o procedimento é diferente. Também devemos incluir em nossa equação os decimais que aparecem antes do período e, além disso, devemos acrescentar o 0 (zero) ao lado do denominador 9. Acompanhe como vai ficar a sua equação com o exemplo abaixo:

Vamos utilizar o exemplo b) 3,9555…

Então

b) 3,9555… = (395 – 39) / 90

b) 3,9555… = 356 / 90

Fazendo simples conta em sua calculadora, poderá verificar, novamente, que os valores são correspondentes, pois 356 divididos por 9 é exatamente igual a 3,9555…

Ainda, caso houvesse mais um número antes do período, como no exemplo e) 1,25444…, seria necessário colocar mais um 0 (zero). Veja como ficaria:

e) 1,25444… = (1254 – 125) / 900

e) 1,25444… = 1129 / 900

Verificando, podemos analisar que os valores se correspondem.