Matriz Inversa

Calcular a matriz inversa segue um preceito muito parecido com o que é utilizado no cálculo do inverso de um número real. Uma matriz só pode ser considerada invertível quando seu determinante for diferente de zero e apenas se envolver uma matriz quadrada.

Para representar uma matriz inversa utilizamos o número -1 em cima de seu nome, por exemplo: A¯¹ é considerada a matriz inversa de A; D¯¹ é considerada a matriz inversa de D.

Existem três formas de calcular a inversa de uma matriz, o primeiro método é mais complexo e ideal para matrizes menores, de ordem 2, por exemplo, e utiliza-se de sistemas lineares; a segunda forma de se descobrir a matriz inversa é através do escalonamento ou método de Gauss e a terceira se utiliza de determinantes e cofatores.

Vamos descobrir agora como realizar o cálculo da matriz inversa utilizando-se de cada um desses métodos:

Como descobrir se uma matriz possui inversa

Antes de se entender como funcionam os métodos para descobrir qual é a inversa de uma matriz A é preciso saber se a mesma possui inversa ou se é uma matriz não-inversível ou singular.

Para saber se uma matriz possui inversa basta calcular seu determinante, que deve ser diferente de zero. Veja os exemplos abaixo:

• Exemplo 1:

Para a matriz A = 1 0 calcule seu determinante.
3 2

1 * 2 = 2
3 * 0 = 0
2 – 0 = 2
Det(A) = 2.

Como o determinante de A = 2, a matriz permite o cálculo da inversa A¯¹.

• Exemplo 2:

Para a matriz B = 2 4 calcule seu determinante.
4 8

2 * 8 = 16
4 * 4 = 16 (-1)
16 – 16 = 0
Det(B) = 0.

Como o determinante de B = 0, a matriz não permite inversa e é considerada uma matriz singular.

Exemplos de cálculo de matriz inversa

Para entender melhor como é calculada a matriz inversa apresentaremos exemplos de resolução da mesma matriz utilizando-se de cada um dos métodos já citados.

Cálculo de matriz inversa através de sistemas lineares

Para descobrir a matriz inversa através do uso de sistemas lineares, consideramos que a multiplicação de A pela sua inversa A¯1 é igual à matriz identidade. Observe o exemplo:

Exemplo 1:

Para a matriz A = 1 0 calcule sua inversa A¯¹.
3 2

1º passo:

Matriz A = 1 0
3 2

Matriz A¯¹ = x y
z w

Matriz I = 1 0
0 1

A * A¯¹ = I

1 0 x y 1 0
3 2 * z w = 0 1

2º passo:

x y 1 0
3x 2z 3y 2w = 0 1

Sendo assim sabemos que:

X = 1
y = 0
3x 2z = 0
3y 2w = 1

3º passo:

Resolução do sistema linear:

3*1 2z = 0
3 2z = 0
2z = 0 – 3
Z = – 3/2

3*0 2w = 1
0 2w = 1
2w = 1
W = ½

Sendo assim, a matriz inversa de A é descrita por A¯¹ = 1 0
-3/2 ½

Calculo de matriz inversa utilizando determinantes e cofatores

Para determinar a matriz inversa fazemos uso da fórmula A¯¹ = (Cof (A)) ͭ/ Det (A). Primeiramente, a partir de uma matriz A, será preciso determinar a transposta de seu cofator e então dividi-la por seu determinante.

Exemplo 2: Vamos seguir como base a mesma matriz utilizada na resolução por sistemas lineares:

A = 1 0
3 2

1º passo:

Determinar os cofatores da matriz A

Cof A = a11 a12
A21 a22

A11 = (-1)² * 2
A11 = 1 * 2
A11 = 2

A12 = (-1)³ * 2
A12 = – 1 * 2
A12 = -2

A21 = (-1)³ * 2
A21 = -2

A22 = (-1)⁴ * 2
A22 = 2

Cof A = 2 -2
-2 2

2º passo:

Calcular a transposta de Cof (A).

Cof (A) ͭ = 2 -2
-2 2

3º passo:

Calcular o determinante de A.
Det (A) = 2.

4º passo:

A¯¹ = 2 -2
-2 2
___________

2

A¯¹ = 1 0
-3/2 ½

Resolvendo uma matriz inversa por escalonamento (método de Gauss)

A terceira forma de encontrar a matriz inversa é se utilizando do escalonamento ou método de Gauss. Vamos utilizar a matriz A como exemplo:

A = 1 2
3 4

1º passo:

Construir uma matriz aumentada com o auxílio da matriz identidade:

1 2 1 0
3 4 0 1

2º passo:

2ª linha -3 x 1ª linha = 2ªlinha
1 2 1 0
0 1 3/2 -1/2

-1/2 * 2ªlinha = 2ª linha
1 2 1 0
0 -2 -3 1

1ª linha – 2 * 2ª linha = 1ª linha
1 0 – 2 1
0 1 3/2 -1/2

Sendo assim, a matriz inversa de A é descrita por A¯¹ = -2 1
3/2 -1/2

Encontrar a matriz inversa de uma matriz A não é difícil, basta escolher o melhor método de resolução a ser aplicado. Para matrizes quadradas de ordem dois é possível apostar na resolução por sistemas lineares, um pouco menos complexa. Já os dois últimos métodos citados são melhores para matrizes de ordem acima de 2.