Matriz Inversa
Calcular a matriz inversa segue um preceito muito parecido com o que é utilizado no cálculo do inverso de um número real. Uma matriz só pode ser considerada invertível quando seu determinante for diferente de zero e apenas se envolver uma matriz quadrada.
Para representar uma matriz inversa utilizamos o número -1 em cima de seu nome, por exemplo: A¯¹ é considerada a matriz inversa de A; D¯¹ é considerada a matriz inversa de D.
Existem três formas de calcular a inversa de uma matriz, o primeiro método é mais complexo e ideal para matrizes menores, de ordem 2, por exemplo, e utiliza-se de sistemas lineares; a segunda forma de se descobrir a matriz inversa é através do escalonamento ou método de Gauss e a terceira se utiliza de determinantes e cofatores.
Vamos descobrir agora como realizar o cálculo da matriz inversa utilizando-se de cada um desses métodos:
Como descobrir se uma matriz possui inversa
Antes de se entender como funcionam os métodos para descobrir qual é a inversa de uma matriz A é preciso saber se a mesma possui inversa ou se é uma matriz não-inversível ou singular.
Para saber se uma matriz possui inversa basta calcular seu determinante, que deve ser diferente de zero. Veja os exemplos abaixo:
• Exemplo 1:
Para a matriz A = 1 0 calcule seu determinante.
3 2
1 * 2 = 2
3 * 0 = 0
2 – 0 = 2
Det(A) = 2.
Como o determinante de A = 2, a matriz permite o cálculo da inversa A¯¹.
• Exemplo 2:
Para a matriz B = 2 4 calcule seu determinante.
4 8
2 * 8 = 16
4 * 4 = 16 (-1)
16 – 16 = 0
Det(B) = 0.
Como o determinante de B = 0, a matriz não permite inversa e é considerada uma matriz singular.
Exemplos de cálculo de matriz inversa
Para entender melhor como é calculada a matriz inversa apresentaremos exemplos de resolução da mesma matriz utilizando-se de cada um dos métodos já citados.
Cálculo de matriz inversa através de sistemas lineares
Para descobrir a matriz inversa através do uso de sistemas lineares, consideramos que a multiplicação de A pela sua inversa A¯1 é igual à matriz identidade. Observe o exemplo:
Exemplo 1:
Para a matriz A = 1 0 calcule sua inversa A¯¹.
3 2
1º passo:
Matriz A = 1 0
3 2
Matriz A¯¹ = x y
z w
Matriz I = 1 0
0 1
A * A¯¹ = I
1 0 x y 1 0
3 2 * z w = 0 1
2º passo:
x y 1 0
3x 2z 3y 2w = 0 1
Sendo assim sabemos que:
X = 1
y = 0
3x 2z = 0
3y 2w = 1
3º passo:
Resolução do sistema linear:
3*1 2z = 0
3 2z = 0
2z = 0 – 3
Z = – 3/2
3*0 2w = 1
0 2w = 1
2w = 1
W = ½
Sendo assim, a matriz inversa de A é descrita por A¯¹ = 1 0
-3/2 ½
Calculo de matriz inversa utilizando determinantes e cofatores
Para determinar a matriz inversa fazemos uso da fórmula A¯¹ = (Cof (A)) ͭ/ Det (A). Primeiramente, a partir de uma matriz A, será preciso determinar a transposta de seu cofator e então dividi-la por seu determinante.
Exemplo 2: Vamos seguir como base a mesma matriz utilizada na resolução por sistemas lineares:
A = 1 0
3 2
1º passo:
Determinar os cofatores da matriz A
Cof A = a11 a12
A21 a22
A11 = (-1)² * 2
A11 = 1 * 2
A11 = 2
A12 = (-1)³ * 2
A12 = – 1 * 2
A12 = -2
A21 = (-1)³ * 2
A21 = -2
A22 = (-1)⁴ * 2
A22 = 2
Cof A = 2 -2
-2 2
2º passo:
Calcular a transposta de Cof (A).
Cof (A) ͭ = 2 -2
-2 2
3º passo:
Calcular o determinante de A.
Det (A) = 2.
4º passo:
A¯¹ = 2 -2
-2 2
___________
2
A¯¹ = 1 0
-3/2 ½
Resolvendo uma matriz inversa por escalonamento (método de Gauss)
A terceira forma de encontrar a matriz inversa é se utilizando do escalonamento ou método de Gauss. Vamos utilizar a matriz A como exemplo:
A = 1 2
3 4
1º passo:
Construir uma matriz aumentada com o auxílio da matriz identidade:
1 2 1 0
3 4 0 1
2º passo:
2ª linha -3 x 1ª linha = 2ªlinha
1 2 1 0
0 1 3/2 -1/2
-1/2 * 2ªlinha = 2ª linha
1 2 1 0
0 -2 -3 1
1ª linha – 2 * 2ª linha = 1ª linha
1 0 – 2 1
0 1 3/2 -1/2
Sendo assim, a matriz inversa de A é descrita por A¯¹ = -2 1
3/2 -1/2
Encontrar a matriz inversa de uma matriz A não é difícil, basta escolher o melhor método de resolução a ser aplicado. Para matrizes quadradas de ordem dois é possível apostar na resolução por sistemas lineares, um pouco menos complexa. Já os dois últimos métodos citados são melhores para matrizes de ordem acima de 2.
