Circunferência Trigonométrica, Seno e Cosseno


Circunferência de 36O°

Os babilônios acreditavam que a melhor base para fazer contagens era a base 60, por ter múltiplos diviso­res (l, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60), podendo ser facilmente decomposta, o que facilitava muito os cálcu­los, principalmente as divisões. Hiparco de Nicéia (aproximadamente 180 a. C.-125 a. C.), que era grego, compartilhava da mesma ideia e escolheu um múltiplo de 60, o 360 (note a proximidade com a quantidade de dias que possui, atualmente, um ano), e dividiu a circunferência em 360 partes, cada uma delas sendo chamada de arco de um grau (1°). Assim, uma cir­cunferência tem, como arco de uma volta completa, 360°.

Circunferência Trigonométrica

Pela necessidade de se obter partes ainda menores, cada grau foi dividido em 60 outras partes, individualmente de­nominadas de arco de um minuto (T). Os minutos também foram divididos em 60 outras partes, cada uma delas sendo chamada de arco de um segundo (l”). Assim, tem-se que:
•     1° = 60′ (l grau é igual a 60 minutos);
•     l’ = 60″ (l minuto é igual a 60 segundos).

Observe a seguir um exemplo baseado em algo mui­to utilizado no dia-a-dia da maioria das pessoas. Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vin­te minutos.

Circunferência de raio unitário

Os hindus determinaram uma forma de trabalhar com a meia corda (chamada de jivà) de uma circunferência, podendo assim utilizar o triângulo retângulo que surge. O matemático árabe Al-Battani (858-929) adotou a trigonometria hindu, acrescentando a ela a ideia da cir­cunferência de raio unitário (a divisão por l dá como resultado o próprio numerador).

Circunferência em radianos

Quando se marca em uma circunferência um ângulo cen­tral que nela determina um arco cujo comprimento é igual ao do raio, diz-se que tal ângulo mede l radiano (l rad). Considerando que a circunferência apresenta raio l (um) e comprimento C = 27iR, o comprimento é igual a C = 2n • l = 2n. Consequentemente, pelo conceito de um arco em radianos, uma circunferência tem, como arco de uma volta completa, 2u radianos.

Quadrantes na circunferência

Uma circunferência de raio unitário e centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas é dividida em quatro partes iguais, cada uma delas chamada de quadran­te. Considerando-se como origem o ponto de intersecção do eixo horizontal (x – na sua parte positiva) com a circunfe­rência, e adotando-se o sentido anti-horário como positivo, obtém-se os lo, 2o, 3o e 4o quadrantes, respectivamente.

Há uma outra unidade de medida de arcos chamada grado, praticamente nunca utilizada. Como informação, uma volta possui 400 grados (400 gr), portanto 180°= Tirad = 200 gr.

Por causa da grande utilização dos arcos notáveis, é interessante memorizar: 30° = -rad, 45° = -rad, 60° = -rad 643.

Arcos côngruos

Chamamos de arcos côngruos todos aqueles que caem sobre um mesmo ponto, diferenciados apenas pela quanti­dade de voltas que dão sobre uma circunferência marcada.

Transformação de unidades

Serão várias as vezes que, por conveniência ou ne­cessidade, você terá de transformar unidades. Para isso, basta utilizar esta relação: considere que 180° = nrad.

•        60° = primeira determinação positiva
•        60° + 360° (uma volta) = 420° = segunda determinação positiva
•        60° + 720° (duas voltas) = 780° = terceira determinação positiva
•        60° – 360° (uma volta) = -300° = primeira determinação negativa
•        60° – 720° (duas voltas) = -660° = segun­da determinação negativa

Ao menor valor positivo (primeira determinação po­sitiva) de todos os arcos côngruos, dá-se o nome de menor determinação (md). O menor valor negativo (pri­meira determinação negativa) será chamado de menor determinação negativa.

Obtenção da menor determinação positiva (md)

Quando se fala de um arco de l 100° ou de um arco de  :  — rad, sabe-se que foi dada mais que uma volta na circunferência trigonométrica, mas como a informação bus­cada é onde se encontra o ponto marcado sobre tal cir­cunferência, é necessário determinar quantas voltas foram dadas e qual a md positiva marcada sobre ela. Para tanto, basta decompor o arco em uma quantidade inteira de vol­tas. O valor restante é o ponto procurado (md positiva).
Veja na sequência dois exemplos sobre md positiva.

Seno

Surgiu então o sinus, que em português se diz seno. Depois, foram criadas outras razões, como cosseno e tan­gente. Considerando-se uma circunferência trigonométrica (raio unitário) e um arco AB marcado sobre ela, cujo ângulo central mede x, dá-se à projeção do ponto B so­bre o eixo vertical y (ordenada de B) o nome de sen x e à projeção do ponto B sobre o eixo horizontal x (abcissa de B) o nome de cos x. Caso o valor do arco dado seja negativo, o valor que “sobrar” também será negativo (md negativa). Para se obter a md positiva, é preciso somar uma volta inteira (360° ou 27irad).

Expressão Geral dos Arcos (EG)

Chama-se Expressão Geral (EG) àquela referente a todos os arcos côngruos. Ela é representada por:
EG = md + 27i • k
ou
EG = md + 360° – k

Em que k = O, ±1, ±2, ±3, …, portanto
•         para k = O —> EG = md (l? determinação positi­va)
•         para k = l -> EG = md + 360° (2? determinação positiva)
•         para k = 2 -> EG = md + 720° (3? determinação positiva)
•         para k = -l -> EG = md – 360° (Ia. determina­ção negativa)
•         para k = -2 ->EG = md – 720° (2a. determinação negativa)

Seno e cosseno de um arco

Os árabes, quando traduziram textos de Trigonome­tria do sânscrito, ao se depararem com a palavra jiva, escreveram “jiba” e registraram jb (havia o hábito de suprimir as vogais). Mais tarde, Robert de Chester, ao traduzir para o latim, interpretou jb como sendo as con­soantes da palavra jaib (baía ou enseada) que, em latim, escreve-se sinus.

Do triângulo DOB, facilmente se abstrai a principal relação da Trigonometria, dita relação fundamental: sen2 x + cos2 x = l.

Observações

•        Seno (vertical —> y) é positivo para cima e negativo para baixo.
•        Cosseno (horizontal -> x) é positivo para a direita e negativo para a esquerda.