Equações Algébricas: Conceitos Gerais


Denominamos equação algébrica ou equação poli­nomial de uma incógnita e grau n > l toda equação redutível à forma inteira, em que n é um número natural e os outros são números quaisquer. O grau de uma equação P(x) = O é também o grau da equação algébrica.

Multiplicidade de uma raiz

Pode acontecer que as n raízes de uma equação P(x) = O, de grau n, não sejam todas distintas. Supondo, por exem­plo, que existam a raízes iguais a x, e P raízes iguais a x2, então xt é denominada raiz de multiplicidade a, e x2 raiz de multiplicidade p. As raízes de multiplicidade 2 denominam-se raízes duplas, as de multiplicidade 3 de­nominam-se raízes triplas e, por extensão, as raízes simples são raízes de multiplicidade 1.

Equações Algébricas

Exercício resolvido

Resolver a equação 2(x – l)(x – 3)2(x + 4)3 = 0.

Examinando cada fator, tem-se: (x-l) = 0=*x = l (raiz simples) (x – 3)2 = O => x = 3 (raiz dupla) (x + 4)3 = O => x = -4 (raiz tripla)
Portanto, o conjunto solução é S = {l, 3, -4} e o grau da equação é 6.

Exemplos de equações algébricas:
•         x2-7x+12 = 0=> equação do 2º grau
•         x3 – 8×2 + 29x -52 = 0=» equação do 3º grau

Raiz de urna equação algébrica

Um número a e C (conjunto dos números comple­xos) é raiz de uma equação algébrica P(x) = O, se, e so­mente se, P(cc) = O, isto é, se for raiz do polinômio P(x).
•         O número 3 é uma raiz da equação x2 – 7x + 12 = O, pois (3)2 – 7(3) +12 = 0;
•         o número 4 é uma raiz da equação x3 – 8×2 + 29x -52 = 0, pois (4)3 – 8(4)2 + 29(4) -52 = 0.

Em 1799, Cari Friedrich Gauss (1777-1855) demonstrou que uma equação polinomial de grau n, n > 1, tem pelo menos uma raiz com­plexa. Esse resultado é conhecido como Teore­ma Fundamental da Álgebra.

Teorema da Decomposição

Todo polinômio P(x) = a x” + a de grau n > l, pode ser decomposto em n fatores do lº grau multiplicados pelo coeficiente an, (an * 0), isto é an(x – x,)(x – x2) … (x – xn). Em que x;, x2, … , xn são as raízes de P(x) = 0. A equação x3 + 2×2 — 13x+10 = 0 admite como solução o conjunto S = {-5, 1,2}. Portanto, tem-se: x3 + 2×2 – 13x + 10 = l (x + 5)(x – l)(x – 2).

Observação
O número de raízes da equação é definido pelo grau da equação algébrica e não pelo número de raízes do conjunto solução.

Raízes imaginárias

Se uma equação algébrica, de coeficientes reais, ad­mitir a raiz complexa xt = a + bi com b * O, também admitirá a raiz complexa conjugada x2 = a – bi com b ^ 0. Consequências:
•         o número de raízes imaginárias é sempre par;
•         toda equação de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.

Sabendo que x = 2i é raiz da equação algébrica x2 + 4 = O, então a raiz conjugada x = -2i também será raiz dessa equação.

Raízes irracionais

Se uma equação algébrica de coeficientes inteiros admitir a raiz irracional x, = vá + v b, então admitirá também a raiz irracional conjugada x2 = Vã – Vb como solução.

Composição de uma equação algébrica

Dadas as raízes x1? x2, …, xn de uma equação algé­brica de grau n e coeficiente an ^ O, é possível montar sua equação pelo Teorema da Decomposição:
an(x – Xj)(x – x2) … (x – xn) = O

Teorema das Raízes Racionais

Se o número racional oc = £, pé Z e q e Z*(primos entre si) é uma raiz da equação algébrica com coeficientes inteiros definida por
anxn + an _ jXn – ‘ + an _ 2xn – 2 + … + a,x + a0 = O. Então p é divisor de a0 e q é divisor de an.

Cálculo das raízes

Seja a equação P(x) = 0. Se a é raiz da equação, então P(a) = O e o polinômio P(x) é divisível por (x – a). Com base nessa propriedade, pode-se aplicar o disposi­tivo prático de Briot-Ruffini para testar as prováveis raízes racionais de uma equação algébrica.

I. Exercício resolvido

Resolver a equação x3 – 6×2 – x + 6 = 0.

Como o lº coeficiente é l, então as prováveis raízes racionais serão inteiras e estarão entre os divisores do termo independente. Divisores de 6 : ±1, ±2, ±3, ±6. Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffmi e testando, por exemplo, o número 2:

II. Exercício resolvido

Determinar m para que xt = -3 seja uma das raízes de x3 + mx2 – x – 3 = 0. Encontrar as outras raízes. Como x = -3 é raiz, então este valor deve satisfazer a equação x3 + mx2 – x – 3 = O
Logo:
(-3)3 + m • (-3)2 – (-3) -3 = 0
-27 + 9m + 3-3 = 0=>m = 3

Deste modo, a equação fica como x3 + 3×2 – x -3 = O

Prosseguindo dessa forma, estabelecem-se as relações de Girard para uma equação de grau n.

Observação
Para se aplicar as relações de Girard, é neces­sário ter conhecimento de alguma das condições adicionais que envolvem as raízes.

Relações de Girard

Dada uma equação polinomial de grau n, é possível estabelecer n relações entre seus coeficientes e as raí­zes, denominadas relações de Girard. Vejamos quais são essas relações para as equações a seguir.

Equação do 2º grau

Sendo x, e x2 as raízes de uma equação algébrica de 2°. grau.

Equação do 3º grau

Sendo xp x2 e x3 as raízes de uma equação algébrica de 3º grau.

Equação do 4º grau

Sendo x]5 x2, x3 e x4 as raízes de uma equação algé­brica de 4º grau.