Posições Relativas entre Retas e Planos e Teoremas da Geometria de Posição


Posições relativas entre duas retas no espaço

Duas retas no espaço podem estar contidas em um mesmo plano ou não.

Posições relativas entre uma reta e um plano no espaço

São três as posições possíveis entre reta e plano.

Retas não coplanares ou reversas

Duas retas são reversas se não existe plano que as contenha.

Posições Relativas entre Retas

Paralelas

Duas retas são paralelas se são coincidentes (têm todos os pontos em comum) ou são coplanares e não têm ponto comum. As retas que passam por AB(r) e CG(s) são reversas.

Posições relativas entre dois planos no espaço

São três as posições possíveis entre dois planos: pa­ralelos coincidentes, paralelos distintos e secantes ou concorrentes.

Paralelos coincidentes
Dois planos são coincidentes se têm todos os pontos em comum, podendo ser chamados de paralelos coinci­dentes. Reta contida no plano: Uma reta está contida em um plano se apresenta dois pontos distintos pertencentes a ele (consequentemente, todos os pontos da reta estão contidos no plano).

Paralelos distintos
Dois planos são paralelos distintos se não têm pon­tos em comum. Reta secante ou concorrente ao plano: Uma reta é secante ou concorrente ao plano se tem um único ponto em comum com ele. Quando uma reta secante a um plano forma ângulo reto (90°) com o pla­no, ela é perpendicular ao plano, senão ela é oblíqua ao plano.

Os planos nos quais se encontram as faces ABFE e CGHD do cubo são paralelos distintos. Dois planos distintos são secantes quando apresen­tam um ponto em comum. Se dois planos distintos têm um ponto comum, eles têm pelo menos um outro ponto comum. Se dois planos têm um ponto em comum, então a interseção deles é uma única reta que passa por aquele ponto (Teorema da Interseção). Uma reta é paralela a um plano se não tem nenhum ponto em comum com ele.

Os planos nos quais se encontram as faces ABFE e EFGH do cubo são secantes e perpendiculares.

Teoremas do paralelismo

•     Se uma reta r, não contida num plano a, é para­lela a uma reta de a, r é paralela ao plano a.
• Se duas retas são perpendiculares a um plano, então elas são paralelas entre si.
• Se dois planos são secantes e uma reta de um deles é paralela ao outro, então essa reta é para­lela à reta que representa a interseção entre os planos.
• Se uma reta contida em um plano é perpendicu­lar a outro plano, esses planos são perpendicula­res entre si.

Projeção ortogonal sobre um plano

De um ponto

A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o traço da perpendicular ao plano que passa pelo ponto. A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.

Teoremas do perpendicularismo

• Se uma reta é perpendicular a um plano, ela é perpendicular a todas as retas que passam pelo ponto de interseção dela com o plano e ortogo­nal a todas as outras retas do plano.

De uma reta

A projeção ortogonal de uma reta r não perpendicu­lar ao plano a sobre o plano a é o traço r’ do plano p, perpendicular ao plano a, que contém a reta r.
• Se uma reta é perpendicular a duas retas concor­rentes do plano, ela é perpendicular a esse plano.
• Se a reta r for perpendicular ao plano a, sua proje­ção ortogonal sobre ele será um ponto.

De um segmento

A projeção ortogonal de um segmento AB sobre um plano a pode ser um segmento A’ B’ ou, no caso do seg­mento ser perpendicular ao plano, um ponto.

Seção normal ou reta de um diedro

Quando o plano secante é perpendicular à aresta do diedro, a seção é dita normal ou reta.

De uma figura

A projeção ortogonal de uma figura F sobre um pla­no é dada pela projeção ortogonal de cada um dos pon­tos da figura sobre ele, obtendo-se uma figura F’.

Medida de um diedro

A medida do ângulo da seção normal do diedro é a medida do diedro. Quanto aos valores da medida do diedro, são classificados em:
•         diedro agudo – quando sua medida é menor que 90°;
•         diedro reto – quando sua medida é um ângulo reto (igual a 90°);
•         diedro obtuso – quando sua medida é maior que 90°.

Diedros

Dois planos a e (3, concorrentes em uma reta r, divi­dem seu espaço em quatro regiões que são chamadas ân­gulos diedros ou diedros. Os semiplanos a e (3 são cha­mados faces do diedro e a reta r é a aresta do diedro.

Seção de um diedro

A interseção de um diedro com um plano secante à aresta é chamada de seção de um diedro e é um ângulo plano. Dois diedros são adjacentes se suas seções normais são ângulos adjacentes.

Observações

Se dois diedros somam 90°, são chamados de complementares.
Se dois diedros somam 180°, são chamados de suplementares.

Bissetor de um diedro

É o semiplano com origem na aresta do diedro e que o divide em dois diedros congruentes.

Triedros

Um triedro é a região obtida pela interseção de três semi-espaços, que são obtidos por três semi-retas não coplanares de mesma origem.

Propriedades do triedro

• A medida de uma face é menor que a soma das medidas das outras duas faces e maior que o módulo da diferença das medidas das outras duas faces.
•    A medida de uma face de um triedro é um valor entre 0° e 180°: 0°<E,< 180° 0°<E2< 180° 0°< E3< 180°.
•    A soma das medidas das faces de um triedro é um valor cuja medida se encontra entre 0° e 360°:E2+E3<360C
• A soma das medidas dos diedros de um triedro é um valor cuja medida se encontra entre 180° e 540°.