Probabilidade: Fenômenos Aleatórios, Espaço amostral e Evento


Quando se diz que um acontecimento é mais prová­vel do que outro, significa que o primeiro é mais certo de acontecer. O ramo da Matemática conhecido como probabilidade procura expressar por meio de números proposições como essa. Por exemplo, quando uma pessoa adquire uma apó­lice de seguro de vida, por exemplo, a companhia de seguros tem de ser capaz de estimar quantos anos essa pessoa provavelmente vai viver. Para cada idade especí­fica existe uma probabilidade diferente, chamada expec­tativa de vida. Já os cientistas aplicam as leis da probabilidade na interpretação estatística e estimativa de valores para da­dos experimentais.

Probabilidade

Definições introdutórias

Fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios

São fenômenos que, repetidos muitas vezes em condições iguais, geram resultados imprevisíveis. Por Exemplo:
•         lançamento de uma moeda: não se pode prever se o resultado será cara ou coroa.
•         lançamento de um dado: não é possível prever o número que irá aparecer.

Espaço amostral ou conjunto universo

É o conjunto U de todos os possíveis resultados de um fenômeno aleatório. Exemplos:
•    no lançamento de uma moeda, tem-se: U = {F, C}, em que F = cara (face) e C = coroa, assim: n (U) = 2.
•    no lançamento de um dado, tem-se: U = {l, 2, 3, 4, 5, 6}, sendo n (U) = 6.
•    no nascimento de uma cobaia, tem-se: U = {macho, fêmea}, em que n (U) = 2.

Evento

É qualquer subconjunto do espaço amostrai U. Exemplo:

Seja o evento E: obter número ímpar no lançamento de um dado.
Tem-se: E = {l, 3, 5}, em que n (E) – 3.
Observar que E = {l, 3, 5} é um subconjunto de U = {l, 2, 3, 4, 5, 6}, isto é, E c U.

Evento união

É a reunião de eventos, em que a união de dois even­tos Et e E2 é indicada por El u E2.

Exemplo:

No lançamento de um dado, os eventos: E – obtenção de um número ímpar; E – obtenção de um número par.
Tem-se:
E = {l, 3, 5} e Ê = {2,_4, 6}, em que E u Ê = = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U e E n Ê = 0.

Probabilidade

Se num evento aleatório o número de elementos do conjunto universo é n (U) e o número de elementos do evento E é n (E), então a probabilidade de ocorrer E é o número P (E).

Exemplo: Seja o evento: obter um número ímpar ou um núme­ro primo par, no lançamento de um dado.
Tem-se:
E, = {1,3, 5} ouE2 = {2}
EuE = {1,2,3,5}

A definição é válida quando o espaço amostrai U for equiprovável, ou seja, quando os elementos de U tive­rem a mesma probabilidade.

Propriedades

É a interseção de eventos, indicando-se a interseção de dois eventos E, e E2 por E} n E2. Exemplo:
Seja o evento: obter um número ímpar e múltiplo de 3, no lançamento de um dado.
Tem-se:
E, = {1,3, 5}eE2={3, 6}
E, n E2 = {3}

I.    Exercício resolvido
No lançamento de um dado, determinar a probabili­dade de se obter:
a.    o número 5
U= {l, 2, 3, 4, 5, 6} ->n(U) = 6 E, = {5} -> n (E,) = l
P (E,) –
= ± = 0,1666 = 16,66% o
b.   um número ímpar
E= {1,3,5} ->n(E2) =

Eventos complementares

Dois eventos E e E, tais que:
E u E = U = espaço amostrai
E n Ê = 0
n (E,)      3       l
TÕJ)   = 6 • 2 – °’50 – 50%

II.  Exercício resolvido
No lançamento de um dado duas vezes consecutivas, determinar a probabilidade de se obter soma dos pon­tos igual a 8
U ={(1, 1), (l, 2), …, (l, 6), (2, 1), (2, 2), …, (3, 1),
(3, 2), …, (4, 1), (4, 2), …, (5, 1),
(5, 2), …, (6, 1), (6, 2), …, (6, 6)} n (U) = 6 • 6 = 62 = 36 E, = {(x, y) / x + y = 8} E1 = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}