Probabilidade Matemática


Sorte, azar, aleatório, incerto, risco e mais uma centenas de adjetivos e substantivos (dependendo do contexto) podem fazer parte daquelas palavras relacionadas ao conceito de probabilidade.

E já que estamos tratando de probabilidade, vamos começar sua definição pela etimologia (origem) da palavra. Probabilidade é uma palavra proveniente do latim “probare”, que pode ser traduzida como provar ou testar. Assim, não precisamos ir muito longe para chegar à definição do conceito. Probabilidade é uma maneira de tentar quantificar o provável, entendido como aquilo que pode (ou não) ocorrer em dada situação.

A formalização do estudo da probabilidade engloba duas grandes áreas do conhecimento: a matemática e a lógica. Para que possamos entendê-la melhor, vamos analisar mais a fundo os conceitos que a teoria da probabilidade matemática engloba e as problemáticas que traz.

Probabilidade

A probabilidade 1

A probabilidade é uma forma de definir um evento que é, por sua natureza, aleatório. Vamos utilizar um exemplo que apesar de manjado é capaz de fornecer um bom entendimento do conceito. Suponhamos que tenhamos uma moeda e queremos descobrir qual a probabilidade de, quando ela for jogada para cima, de cara. Já começando a formalizar a linguagem utilizada, vamos denominar de “K” a face cara e “C” a face coroa. Assim, queremos a resposta para P(K)=? Utilizando a lógica, inferimos que a moeda não pode cair em pé. Desta maneira, a probabilidade será o número de casos favoráveis a nosso evento (a moeda cair com o lado K para cima) sobre o número de casos possíveis. Sendo o último 2, já pode dar cara ou coroa, e sendo o primeiro 1, temos que P(K)=1/2 ou, escrito em porcentagem, 50%.

Apesar do exemplo acima ser extremamente simples, ele é muito útil para que possamos formalizar os conceitos envolvidos na teoria da probabilidade. Vamos a eles.

Quando falamos de jogar a moeda para cima, estamos tratando de um EXPERIMENTO. Ou seja, uma experiência que é feita em determinadas condições e passível de ser repetida nessas mesmas condições, sendo que os resultados podem ser diferentes. Isso nos diz que os resultados são determinados ao acaso. Por isso o experimento é chamado de EXPERIMENTO ALEATÓRIO. Todos os possíveis resultados dos experimentos são chamados de ESPAÇO AMOSTRAL. Vamos utilizar outro exemplo para entender melhor este conceito. Quando jogamos um dado cúbico, estamos tratando de uma espaço amostral cujo valor é 6, pois são seis seus números/faces (1, 2, 3, 4, 5, e 6).

Esse mesmo exemplo do dado nos fornece um importante conceito de lógica, tão fundamental quanto à matemática quando tratamos de probabilidade. Por exemplo, qual a probabilidade de, quando dado for jogado, cair com a face de número 4 virado para cima? Bom, se o espaço amostral é 6, temos que P(4)=1/6. Esse mesmo dado é jogado novamente e perguntamos: qual a probabilidade de cair com a face 6 ou com a face 4 virada para cima? P(6 ou 4)=2/6 ou, simplificando, 1/3. Esse dado é novamente jogado. Qual a probabilidade de cair com a face 4 E a face 3 virada para cima? Essa probabilidade não existe, é falsa, pois somente uma das faces do dado será voltada para cima. Por isso é muito importante atentar para os operadores lógicos (e, ou, não) quando estiver trabalhando com probabilidade, pois eles influenciam diretamente no resultado.

Agora, que já sabemos a teoria, vamos tentar resolver, juntos, um problema de probabilidade mais complexo, dado pelo seguinte enunciado: Em uma caixa, há 15 bolas, numeradas de 1 a 15. Retirando uma bola da caixa, qual a probabilidade de seu número ser divisível por 3 ou divisível por 4.

A primeira coisa que devemos atentar é para o operador OU presente no enunciado. Assim, o número da bola retirada da caixa pode ser divisível, não simultaneamente, por 3 ou 4. De 1 a 15, divisíveis por 3 (E3) são 3, 6, 9, 12 e 15. Já por 4 (E4) são 4, 8 e 12. Se o espaço amostral é 15, temos que para P(E3)=5/15 e para P(E4)=3/15. Agora é somar os resultados e teremos a probabilidade, certo? Errado, pois como já dissemos é necessário atentar para o operador lógico OU, pois os eventos não são mutuamente exclusivos. Assim, qual número que é divisível tanto por 3 quanto por 4? A resposta é 12, logo P(E3 ou E4)=1/15. Agora, somamos os resultados levando em consideração a intersecção, isto é, o número que pertence tanto a E3 quanto a E4. Então, P(E)=5/15+3/15-1/15. Como o denominador das frações é o mesmo, não precisamos tirar o MMC. Logo, P(E)=7/15, ou seja, a cada 15 tentativas, é provável que 7 delas resultem em bola com número divisível por 3 ou 4.

Aplicações do conceito de probabilidade 2

Podemos nem perceber, mas nossa vida é rodeada pelo conceito de probabilidades. A bolsa de valores tem no conceito probabilidade um de seus conceitos centrais, assim como a loteria e outros jogos de azar. A probabilidade também é amplamente utilizada na programação computacional e mesmo na programação neolinguística, que induz as pessoas a realizarem determinada ação.

Também no esporte o conceito de probabilidade é amplamente utilizado. Determinar antes da realização de um jogo se um time avança ou não para a próxima fase é um exercício de probabilidade, já que se considerada a combinação tantos os resultados possíveis do resultado do jogo do time quando o resultado de jogos envolvendo seus adversários.