Progressão Geométrica: Soma dos Termos de uma PG e Interpolação Geométrica


Soma dos Termos de uma PG

Existe uma lenda, extremamente curiosa, sobre a origem do jogo de xadrez. O rei, maravilhado pelo jogo de xadrez, resolveu recompensar seu inventor. Este, di­ante da bondade de seu rei, pediu como pagamento, grãos de trigo:
• um grão de trigo pela primeira casa;
• dois grãos pela segunda;
• quatro grãos pela terceira;
• oito grãos pela quarta;

Progressão Geométrica

e assim, sucessivamente, dobrando a quantidade até a 64a casa do tabuleiro.
1a casa: a1 = 1 = 2
2a casa: a2 = 2 = 21
3a casa: a3 = 4 = 22
4a casa: a4 = 8 = 23
64a casa: a64 = 263

Logo, a quantidade total de grãos de trigo é o resulta­do da seguinte soma.
S = 2° + 21 + 22 + 23 + … + 262 + 263 (1)
Multiplicando (1) por dois, obtemos: 2 . S = 21 + 22 + 23 + 24 + … + 263 + 264 (2)
Fazendo (2) menos (1)
2 . S – S = 264 – 2°

Curiosidade:
O rei ficou assustado quando soube que não havia em seu reino quantidade suficiente de grãos de trigo para cumprir a promessa de recompensa. É claro que o inventor do jogo de xadrez estava brincando com o rei, pois abriu mão, ao final, da recompensa. Como calcular a quantidade total de grãos de trigo ne­cessários para recompensar o inventor do jogo de xadrez? A quantidade de grãos em cada casa do tabuleiro forma uma progressão.

Esta relação permite obter a soma das termos de uma PG conhecendo-se o primeiro termo, a razão e o úl­timo termo.
Observações:
(1) Quando q = 1, a PG é estacionária e Sn é dada por: Sn = n.
(2) Substituindo-se an por a-|qn ~1 obtém-se:

Exemplo:
Calcule a somaMosjterjyiDS da PG: (2; 6; 18; …,1458)
anq-a1
Sn =
1 458. 3-2
3-1 Sn = 2 186

E quando o número de termos de uma PG for infinito? Observe que a sequência é uma progressão geomé­trica não limitada, ou seja, existem infinitos termos.

Outra observação importante é a de que à medida que aumentamos a quantidade de termos de tal suces­são, o termo an se aproxima de zero.
Podemos, então, concluir que: Numa progressão geométrica infinita e decres­cente, o limite da soma dos termos pode ser obtido fa­zendo an = O. Assim:
an.q-a1
Sn= ^t~
Fazendo an = O teremos o limite S da soma dos ter­mos:

Podemos, entretanto, obter intuitivamente um valor correspondente à tendência da soma resultante quando o número de termos tende ao infinito.
Sn = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + … Observe que:
82 = 1-1-0,5 = 1,5
53 = 1 +0,5 + 0,25 = 1,75
54 = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 1,875

A soma Sn, quando n tende ao infinito, está tendendo para 2.

Interpolação Geométrica

Considere o seguinte problema:

No 1º semestre do ano 2002, a produção mensal de uma fábrica teve o crescimento em progressão geométrica. Sabe-se, conforme o gráfico de colunas, que a produção, em janeiro, foi de 500 unidades e, em junho, de 16 000 unidades.

logo, 32 = q => q = 2
a2 = a1 . q = 500 .2 = 1 000 a3 = a2 . q = 1 000 .2 = 2 000 a4 = a3 . q = 2 000 .2 = 4 000 a5 = a4 . q = 4 000 .2 = 8 000
então: 16 000 = 500. q5

Qual foi a produção dessa fábrica nos meses de fe­vereiro, março, abril, e maio? Conhecemos o primeiro e o sexto termos da corres­pondente progressão geométrica. (500;_______ ;_______ ;_____ ;______ ; 16 000). Você acabou de observar um exemplo de interpolação geométrica.

Interpolar ou inserir K meios geométricos, entre dois termos conhecidos a e b, significa construir uma progressão geométrica de k + 2 termos, onde a é o pri­meiro termo e b é o último. Temos que inserir 4 termos em PG Como a-i = 500; a6 = 16 000 e a6 = a-, . q5,

Temos de uma PG

Vamos determinar o produto dos termos da progres­são geométrica (2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256). Sendo P8 o produto desses oito termos, temos: P8 = 2 . 4 . 8 . 16. 32. 64 . 128 . 256

A escolha do sinal de Pn deve ser feita, conforme o caso, de acordo com:
se todos os termos forem positivos ou se o número de termos negativos for par.
se o número de termos negativos for ímpar.

Exemplo:
Obtenha o produto dos termos da progressão geo­métrica
(V3;-3;3V3;…;81V3) Resolução:
Dados: a-| = V3 q=-V3
P8 = (2 . 256) . (4 . 128) . (8 . 64) . (16 . 32) P8 = (2 . 256) . (2 . 256) . (2 . 256) . (2 . 256) P8 = (2 . 256)4 P8 = (2 . 256)2

Assim, o produto dos termos de uma PG pode ser determinado conhecendo-se o número de termos da PG e os seus dois extremos. Vamos deduzir uma fórmula para calcularmos o pro­duto Pn dos n termos de uma progressão geométrica.
Pn = a1 .a2.a3.(…)an_2.an_1 . an   (1)
ou Pn = an.an_-, .an_2. (…). a3.a2. a! (2)
Multiplicando membro a membro (1) e (2) P2 = (31.an).(a2.an_-,). (a3.an_2)… (an_-,.a2). (an.a^).

Como o produto de dois termos equidistantes dos ex­tremos é igual ao produto dos extremos,
Pn = (ai • an). (a! . an). (a, . an) (…) (a, . an). (a1 . an)
P9 = ± 322 . V3

Existem 4 termos negativos e 5 termos positivos, logo o produto é positivo, ou seja:
Pq = 322 . V3