Quadrado da Soma e Quadrado da Diferença


A álgebra é um dos mais antigos e complexos estudos que existem na área da matemática. A busca pelas soluções aos problemas com os valores desconhecidos “enlouquece” os matemáticos de plantão há séculos, desde, até mesmo, os anos anteriores ao nascimento de Cristo.

O “pai da álgebra” é Diofanto de Alexandria, um matemático grego que introduziu os símbolos para substituir os termos desconhecidos – hoje, esses símbolos acabaram substituídos por letras como x, y e z, que são as mais usuais. Desse ramo matemático é que surgiram as chamadas expressões algébricas, que são os tipos de cálculos que obedecem alguns padrões de resolução, como, por exemplo, a propriedade distributiva.

Quadrado da Soma

Os produtos notáveis na álgebra

Quando estamos lidando com esse tipo de operação algébrica, é possível perceber que alguns dos polinômios são exibidos com certa frequência. Isso faz com que eles se repitam regularmente e diversas expressões tenham aspectos em comum quando são resolvidas: estas, no caso, são chamadas de produtos notáveis.

Simplificando, os produtos notáveis podem ser definidos como as expressões algébricas que possuem uma forma geral para que seja alcançada a sua resolução. O uso delas pode facilitar muito os cálculos e o aprendizado, assim como reduzir o tempo de desenvolvimento.

Os produtos notáveis – cuja denominação foi dada com base no papel importante que essas expressões têm no cálculo algébrico – são usados, principalmente, para realizar a fatoração de polinômios e, também, na hora de evitar erros com sinais.

Em tempos mais antigos, os gregos se utilizavam de procedimentos algébricos e geométricos idênticos aos produtos notáveis que vemos nos dias de hoje. Vale ressaltar ainda que o uso de grande parte dessas expressões se atribui aos pitagóricos e, na forma de representações geométricas, foram até mesmo mencionados na obra de Euclides de Alexandria (o “pai da Geometria”).

Tais expressões algébricas podem ser resolvidas por meio da propriedade distributiva da multiplicação (um desenvolvimento mais detalhado que faz uso excessivo de cálculos) ou se aplicando a regra prática (uso de uma definição geral para cada tipo de expressão, o que simplifica os cálculos).

Os produtos notáveis estão divididos em: quadrado da soma, quadrado da diferença (os dois que serão abordados nesse artigo), produto da soma pela diferença, produto do tipo, cubo da soma e cubo da diferença.

Veja abaixo os casos mais comuns de produtos notáveis:

Quadrado da soma: (a + b) . (a + b) = (a + b)2
– Quadrado da diferença: (a – b) . (a – b) = (a – b)2
– Produto da soma pela diferença: (a + b) . (a – b)
– Produto do tipo: (x + p) . (x + q)
– Cubo da soma: (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)3
– Cubo da diferença: (a – b) . (a – b) . (a – b) = (a – b)3

Quadrado da Soma e Quadrado da Diferença

Essas expressões algébricas podem ser enquadradas na categoria que determina os produtos notáveis, isso porque elas são capazes de ser solucionadas por meio de generalizações lógicas.

• Quadrado da soma (a + b)²

O cálculo dessa expressão acontece dessa forma: o primeiro termo ao quadrado somado ao seu dobro, vezes o segundo termo somado a este mesmo segundo termo ao quadrado. Confira abaixo alguns exemplos.

– (2x + 6)² = (2x)² + 2.2x.6 + (6)² = 4x² + 24x + 36

– (9x + 5) = (9x)² + 2.9x.5 + (5)² = 81x² + 91x + 25

– (4x² + 3) = (4x²)² + 2.4x².3 + (3)² = 16×4 + 24x² + 9

– (6x + 2/3)² = (5x)² + 2.6x.2/3 + (2/3)² = 25x² + 8x + 4/9

– (10x² + 12)2 = (10x²)² + 2.10x².12 + (12)² = 100×4 + 240×2 + 144

– (x³ + 2x)² = (x³)² + 2.x³.2x + (2x)² = x6 + 4×4 + 4x²

• Quadrado da diferença (a – b)²

As expressões algébricas que têm a fórmula (a – b)2 podem ter sua resolução baseadas nas duas vertentes já citadas acima: aplicando a propriedade distributiva da multiplicação ou por meio da regra prática. Veja na sequência como se dá cada uma delas.

A propriedade distributiva

Como (a – b)2 pode ser escrito na forma (a – b)* (a – b), por conta da definição de potenciação, temos:

– (a – b)* (a – b) = a*a – a*b – b*a + b*b = a² – 2ab + b²

– (x – 4)² = (x – 4) * (x – 4) = x*x – 4*x – 4*x + 4*4 = x² – 8x + 16

– (2y – 5)² = (2y – 5) * (2y – 5) = 2y*2y – 2y*5 – 5*2y + 5*5 = 4y² – 20y + 25

– (5a – 2b)² = (5a – 2b) * (5a – 2b) = 5a*5a – 5a*2b – 2b*5a + 2b*2b = 25a² – 20ab + 4b²

Regra prática

A resolução é a seguinte: o quadrado do primeiro termo menos o seu dobro vezes o segundo termo mais o quadrado deste mesmo segundo termo.

– (y – 6)² = (y)² – 2*y*4 + (4)² = y² – 6y + 16

– (4b – 9)² = (4b)² – 2*4b*9 + (9)² = 16b² – 72b + 81

– (7y – 6x)² = (7y)² – 2*7y*6x + (6x)² = 49y² – 84xy + 36x²

– (10x – 2z)² = (10x)² – 2*10x*2z + (2z)² = 100x² – 40xz + 4z²