Quadriláteros: Definição e Cálculo das Áreas


Os quadriláteros, por possuírem o formato da maio­ria dos terrenos, provavelmente foram as primeiras figu­ras geométricas a despertar nos homens a necessidade de um conhecimento sobre as suas medidas de compri­mento, perímetro e área. A civilização egípcia tinha suas terras constantemente inundadas pelas cheias do Rio Nilo – fato que apagava as demarcações – e necessitava de meios para remarcá-las, surgindo aí a figura dos mensuradores ou agrimen­sores, também denominados por “estiradores de corda” – eles faziam uso de cordas para realinhar os limites das terras, traçar as bases dos templos e efetuar medições. Isto contribuiu para que os egípcios fossem considera­dos maiores colaboradores que os babilônios no segmento da Geometria.
Quadriláteros são os polígonos que têm quatro lados. Nesta aula, serão estudados apenas os conve­xos. Os côncavos serão “transformados” em conve­xos traçando-se segmentos de forma conveniente.

Quadriláteros

Em qualquer quadrilátero, a soma dos ângulos inter­nos vale 360° (uma diagonal o divide em dois triângu­los) e, em qualquer polígono, a soma dos ângulos exter­nos vale 360°. Esses polígonos podem ser classificados como qua­driláteros quaisquer, trapézios (apenas dois lados para­lelos) e paralelogramos (lados opostos paralelos). A se­guir, você conhecerá os principais quadriláteros.

Trapézios

São os quadriláteros que têm apenas dois lados pa­ralelos, chamados de bases.

Escaleno: Trapézios escalenos são aqueles em que as medidas dos quatro lados são diferentes e, consequentemente, os quatro ângulos não são congruentes.
Isósceles: Trapézios isósceles são aqueles em que as medidas dos lados não paralelos são congruentes. Os ângulos ad­jacentes de uma mesma base são congruentes.

Unindo-se os pontos médios dos lados não parale­los, obtém-se um segmento paralelo às bases, cujo com­primento é igual à média aritmética dos valores dos com­primentos das bases.

B* b e c = d
As diagonais são congruentes (PR = QS).

Retângulo: Trapézios retângulos são aqueles em que um dos la­dos não paralelos é perpendicular aos dois lados paralelos.

Área dos trapézios

O problema 52 do papiro Ahmes mostra que a área de um trapézio isósceles pode ser calculada pelo deslo­camento de um dos triângulos retângulos, formando-se então um retângulo. Dividindo-se o trapézio conforme a figura a seguir, sua área será igual à soma das áreas dos dois triângulos com a do retângulo.

B * b
a = p = 90°, y*9ey+e= 180°. PQ = h

Exercício resolvido

Um trapézio isósceles apresenta base maior 11 cm e base menor 5 cm. Sabendo-se que os lados congruentes têm a mesma medida da base menor, então sua área vale
S =
52 = 32 + h2 h = 4 cm
(B + b) • h      (11 + 5)- 4

= 16-2 = 32 cm2

Retângulo

É o paralelogramo que tem os quatro ângulos inter­nos congruentes e medindo 90°. Consequentemente, apresenta diagonais congruentes.

Paralelogramos

São os quadriláteros que têm lados opostos paralelos e congruentes. Como consequência, os ângulos opostos são congruentes e as diagonais se cruzam em seu ponto médio.

Simples

Área dos paralelogramos simples

Deslocando o triângulo retângulo “interno” origina­do pela altura para o lugar do triângulo retângulo “ex­terno” obtido pela projeção da altura sobre a projeção do lado da base (os dois são congruentes), obtém-se um retângulo. Portanto, a área do paralelogramo simples pode ser obtida pelo produto da medida do comprimento da base pela medida do comprimento da altura.

Área de um retângulo

A área de um retângulo é, certamente, a forma de cálculo de área mais utilizada, podendo ser obtida por meio do produto da medida do comprimento da base pela medida do comprimento da altura.

S = b • h

Exercício resolvido

Calcule a área do paralelogramo da figura, em cm2.

2b + 2h = 28 -» b + h = 14
Como d = 10 -> (5 • 2), b – 8 -> (4 • 2) e h = 6
-> (3 ‘ 2)
S = b • h – 8 • 6 = 48 cm2

Losango

É o paralelogramo que apresenta os quatro lados congruentes entre si, com os ângulos opostos também congruentes entre si. No losango, as diagonais se inter­ceptam no ponto médio, perpendiculares entre si, sendo bissetrizes dos ângulos internos.

Área de um losango

O losango fica dividido pelas diagonais em quatro triângulos retângulos congruentes. Logo, a sua área é o quádruplo da medida da área de um dos quatro triângu­los retângulos congruentes.

Área de um quadrado

A área de um quadrado é obtida da mesma forma que a área de um retangulo, já que todo quadrado é um retangulo. Isto é,
S = b•h = t • í
S = l2

Exercício resolvido

Considere que um quadrado ABCD possui lado 4 cm. A partir dos pontos médios dos lados do quadrado ABCD, forma-se um novo quadrado EFGH. Logo, a área de EFGH vale

Exercício resolvido

Se um losango apresenta área igual a 24 cm2 e dia­gonal maior igual a 8 cm, calcule a medida do lado.

Quadrado

É o paralelogramo que tem os quatro lados e os qua­tro ângulos congruentes entre si, medindo portanto 90°. As diagonais do quadrado são congruentes entre si e se interceptam no ponto médio, perpendiculares entre si, sendo bissetrizes dos ângulos internos, dividindo-os em dois ângulos de 45°.

Propriedades de um quadrilátero qualquer

Inscrito em urna circunferência

Um quadrilátero é considerado inscrito em uma cir­cunferência quando todos os seus vértices tocam nela. Em qualquer quadrilátero inscrito em uma circunfe­rência, os ângulos opostos são suplementares. Observe: a + y = 180° p + 9 = 180°.

Em qualquer quadrilátero inscrito em uma circunfe­rência, o produto das diagonais é igual à soma dos pro­dutos dos lados opostos (Teorema de Ptolomeu).

Circunscrito em urna circunferência

Um quadrilátero é considerado circunscrito em uma circunferência quando todos os seus lados são tangentes a ela.