Sistemas Lineares: Conceitos, Resolução e Regra de Cramer


Introdução

Consideremos, inicialmente, duas situações envol­vendo quantidades desconhecidas:

1a Situação
Num estacionamento existem 40 veículos entre au­tomóveis e motocicletas. Ora, nesse caso temos uma única equação e duas incógnitas. Agora, observe que se atribuirmos, na equação x + y = 40, a y, por exemplo, o valor 12, recairemos na equação onde:

Sistemas Lineares

x+ 12 = 40
x = 40-12 x = 28

Quantos automóveis e quantas motocicletas existem em tal estacionamento? Resolução: Como não sabemos as quantidades dos correspon­dentes veículos, podemos considerar que: número de automóveis: x número de motocicletas: y.
Assim:
x + y = 40
l
É uma equação com duas incógnitas.

Assim, x = 28 e y = 12, que indicaremos por (28; 12), constitui uma solução da equação x + y = 40. É importante você observar que tal equação não apresenta (28; 12) como única solução. Se continuarmos atribuindo valores a uma das incógnitas, obteremos ou­tras soluções:
x + y = 40 x=1    => 1 + y = 40   => y = 39
(1; 39) é solução x = 10=>10 + y = 40=>y = 30
(10; 30) é solução x = 20 =» 20 + y = 40 => y = 20
(20; 20) é solução
Assim, existem outras possíveis soluções.

2a Situação:
Quatro amigos foram a um jogo de futebol. A soma das quantias que possuem é igual a R$ 100,00. Indicando os valores de cada um deles por x-|, x2, x3 a-\, a2, a3, …, an são os coeficientes e b é o termo independente. É possível com essa informação saber quantos reais cada um deles possui?

Define-se como equação linear toda sentença matemática da forma a-, x-, + a2x2 + a3x3 + …. + anxn = b, onde a-|, 82, a3,…, an e b-| são números reais conheci­dos e x-|, x2, x3, …, xn são incógnitas reais.

Exemplos:
•  2x + 3y + 4z = 7
•  -x + 5y – 7z + 3t = O
•  4x-| + 7×2 + 8×3 + 9×4 – 10×5 =

Novamente, não será possível precisar a quantia que cada um possui. Entretanto, observe algumas possibilitardes:
•  X! = 25; x2 = 25; x3 = 25; x4 = 25 (25; 25; 25; 25) é solução
•  Xi = 0; x2 = 0; x3 = 1; x4 = 99 (O, O, 1, 99) é solução
•  x-, = 10; x2 = 20; x3 = 40; x4 = 30 (10; 20; 40; 30) é solução

As duas situações apresentadas evidenciam, entre outras coisas, que:
•   as equações não são simples invenções abstratas dos matemáticos; ao contrário, têm aplicações;
•   existem casos em que as equações apresentam mais do que uma incógnita.

(2) A equação O.x + 0.y + 0.z = k, com k # O, não apre­senta solução.

Sistemas Lineares

Quando, numa determinada situação, tivermos duas ou mais equações lineares, teremos um sistema linear: Sistema linear é um conjunto de m (m > 1) equações lineares, nas incógnitas x-j, x2, x3,…, xn.

Regra de Cramer

Você já aprendeu, no Ensino Fundamental, métodos de resolução de sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas. Veremos agora a regra de Cramer, que permite resol­ver um sistema linear por meio de determinantes. Vamos começar com um sistema com duas equações lineares e duas incógnitas.
Exemplo:
Í2x – y = 4 Resolver o sistema:
[x + 3y = 9 Resolução:

• Pelo método da adição: [2x – y = 4 -l x + 3y = 9
multiplicando por 3
6x-3y = 12 x + 3y = 9
-1 3
-1 3
6x + x = 12 + 9 (6 + 1).x = 12-12 + 9
x =
6+1 21 –
x =

multiplicando por -2
Voltando ao sistema: [2x-y = 4 [x + 3y = 9 -‘2x – y = 4 -2x-6y = -1í
-y-6y = 4-18
x + y-z = 4
(3; 2; 1)=>3 + 2-1 =4

Logo, (3; 2) é a solução do sistema apresentado. Assim, considerando o sistema linear. Observe os três determinantes relacionados ao sistema Vmear:
[2x – y = 4 x + 3y = 9

O procedimento apresentado aqui, para a resolução do sistema linear com duas equações e duas incógnitas, é a regra de Cramer. Essa regra pode ser estendida para sistemas linea­res com n equações e n incógnitas.

Observações:
(1) O determinante D é formado pelos coeficientes das incógnitas do sistema;
(2) Dx é o determinante obtido de D pela substituição dos coeficientes de x pelos termos independentes;
(3) Dy é o determinante obtido de D pela substituição dos coeficientes de y pelos termos independentes;
(4) Dz, analogamente, é o determinante obtido de D pela substituição dos coeficientes de z pelos termos inde­pendentes;
(5) D * 0.