Adição de Matrizes

Da mesma forma que os números, as matrizes também são consideradas como propriedades operatórias e, portanto, podem ser adicionadas. A isso chamamos de adição de matrizes. Por exemplo: se tivermos duas matrizes X e Y de ordem igual, que tenham o mesmo número de colunas e linhas, teremos a soma entre elas transformada em uma matriz Z de ordem igual. Logo, os termos precisarão ser somados conforme as suas respectivas posições.

Podemos classificar a adição de matrizes em dois comportamentos diferenciados: a soma termo a termo e a soma direta. Confira abaixo a explicação dessas duas variações.

A soma termo a termo e a soma direta

Como o próprio nome já diz, a soma termo a termo funciona basicamente como a soma de um componente com outro que seja correspondente com outra matriz. Logo, essas matrizes que serão somadas precisam ser da mesma ordem. Isso quer dizer que elas devem possuir a mesma quantidade de número de linhas e de colunas. Em outras palavras, podemos dizer que, quando fazemos a adição de duas matrizes, estamos definindo-as por terem as mesmas dimensões.

Vejamos um exemplo: supomos que a soma de duas matrizes, uma para X e outra para Y, de ordem a x b seja significada por X + Y. Então é considerada, da mesma forma, como uma matriz a por b, em que os termos são a soma dos elementos correspondentes das matrizes X e Y. Caso o elemento que esteja na interseção da linha f, com a coluna g, da matriz Z, for significada por Zfg, logo, a adição dessas matrizes, caracterizadas por X e Y, é definida através da fórmula abaixo. Sendo que, nessa fórmula, é colocado para cada “f” de 1 a “a” e cada “g” de 1 a “b”.

(X + Y)fg = Xfg + Yfg

Ainda, é possível somar as matrizes X + Y termo a termo, para gerar uma nova matriz, de mesma ordem, denominada W. Com relação às propriedades, podemos classificar a soma entre matrizes por quatro formas diferentes. Vale lembrar que “O” é considerado como matriz nula.

• X + Y = Y + X
• (X + Y) + W = X + (Y + W)
• X + O = O + X = X
• X + (-X) = (-X) + X

Outra variável da adição de matrizes é a soma direta, que pode ser significada pelo símbolo ⊕. Esta, contudo, é mais rara e utilizada com bem menos constância. Podemos dizer que é mais comum encontrá-la em meio à álgebra, com a finalidade de somar espaços vetoriais, anéis ou grupos. Nesse caso, as matrizes que vão ser somadas não precisam, necessariamente, estar na mesma ordem.

Na adição de matrizes, podemos considerar a soma direta como uma forma de matriz por blocos, em que os elementos matriciais que a compõem são denominados matrizes, ou como matriz de adjacência. Por fim, qualquer termo de uma soma direta entre dois espaços vetoriais de matrizes é constituído como uma soma direta entre duas matrizes.

No entanto, não é correto aplicar a soma direta a uma adição de matrizes comum que tenham ordens divergentes. Em outras palavras, a soma de uma matriz X (3 x 3) com uma matriz Y (2 x 2) não existe. Logo, é correto afirmar que a soma direta de um par de matrizes X de ordem f × g e outra Y de ordem a × b resulta em uma matriz de ordem (f + a) × (g + b).

As matrizes

Atualmente, a Matemática está presente em várias áreas de conhecimento, logo, pode ser considerada indispensável para diversas ferramentas. Podemos destacar como um dos principais campos dessa área o estudo das matrizes. Caracterizada como um conjunto retangular de símbolos, números ou expressões, a matriz é organizada na forma de linhas e colunas. Cada item que constitui uma matriz é denominado elemento. Na maioria dos casos, as matrizes são consideradas quadradas, ou seja, possuem o mesmo número de linhas e colunas.

Em alguns estudos, que têm como base as estatísticas, as matrizes são referências na organização de dados, pois formam tabelas que têm como objetivo contribuir no controle de tais informações. Informações, estas, distribuídas entre linhas e colunas. Por esse motivo, as matrizes são consideradas de grande importância, uma vez que fazem parte, de forma constante, nas áreas da Informática ou a Engenharia, que tem o cálculo como objeto principal.

Na sequência, a classificação das matrizes quanto as suas propriedades:

• Identidade: classificada assim em função de os termos da diagonal principal ter valores iguais a um e os restantes, iguais a zero;

• Inversa: para ser possível encontrar a matriz inversa de uma dita conhecida, é necessário realizar o processo da multiplicação e da igualdade das matrizes;

• Transposta: é obtida por meio da permuta de linhas por colunas de uma matriz em particular;

• Simétrica: só é considerada uma matriz simétrica se houver igualdade entre ela com a sua matriz transposta;

• Positiva ou negativa e definida ou indefinida: podemos rotular uma matriz nessas condições através do mesmo critério utilizado para classificar os números reais em positivos ou negativos.