Adição e Subtração de Frações

Fração pode ser determinada como a porção de um todo ou porção de alguma coisa. Qualquer elemento no grupo dos números racionais ou inteiro (Z) pode ser representado no formato de fração. Para o grupo dos números racionais estão determinados os cálculos de subtração, adição, divisão ou multiplicação.

Para representar números inteiros usa o grupo de números inteiros representado pelo “Z”, isto é, Z = {…,-4, -3, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. A operação de soma e subtração entre as frações é viável da mesma maneira como é viável fazer a soma entre os inteiros.

Antes de continuar com a subtração e a adição de frações, é importante entender cada parte que a forma, para adquirir entendimento na operação e identificar, sem esforço, suas terminologias.

A/B

Onde:

A= numerador

_= barra de divisão que corresponde a”:” ou “símbolo de divisão”

B= denominador

Adição de Frações

1º situação: denominadores iguais

Quando os denominadores de uma fração são iguais, os numeradores devem ser somados e o número do dominador permanece o mesmo.

Ex:

1)2/3 + 4/3 ?2 + 4/3 ? 6/3 = 2

2)2/5 + 3/5 – 8/5 ? 2 + 3 – 8/ 5 ? 5-8/5 = -3/5

3)24/3 + 6/3 ? 24 + 6/3 ? 30/3 = 10

4)5/9 + 3/9 ? 5 + 3/9 = 8/9

5) 19/23 + 4/23 ? 19 + 4/23 ? 23/23 = 1

2º situação: denominadores diferentes

Nos cálculos de adição que envolve números no formato de fração com denominadores diferentes, deve-se gerar um novo denominador por meio da operação do mínimo múltiplo comum, mais conhecido como MMC, dos denominadores concedidos.

O novo denominador precisa ser dividido pelos denominadores existentes, multiplicando o quociente pelo numerador equivalente, compondo novas frações igualmente idênticas as anteriores, mas com denominadores iguais.

Ex:

1) 2/3 + 9/4

Efetuar o MMC entre 3 e 4:

3 4 |2

3 2 |2

3 1 |3

1 1 |

MMC: 2.2.3 = 12

A partir disso, temos:

2/3 + 9/4 ? 12:3.2/12 + 12:4.9/12 ? 8 + 27/12 = 35/12

Portanto,

2/3 + 9/4 = 35/12 (lê-se trinta e cinco doze avos)

2) 2/5 + 8/9 – 7/12

Efetuar o MMC entre 5, 9 e 12

5 9 12 |2

5 9 6 |2

5 9 3 |3

5 3 1 |3

5 1 1 |5

1 1 1 |

MMC: 2.2.3.3.5 = 180

A partir disso, temos:

2/5 + 8/9 – 7/12 ? 180:5.2/180 + 180:9.8/180 – 180:12.7/180 ? 72/180 + 160/180 – 105/180 = 127/180

Portanto,

2/5 + 8/9 – 7/12 = 127/180

Alguns livros didáticos somente trazem a opção de fazer o mínimo múltiplo comum quando a fração apresenta denominador diferente, porém há outra estratégia para realizar essa operação sem a necessidade do MMC. Considere as seguintes frações:

a/b e c/d, sendo b e d diferentes de zero

A partir disso, pode-se fazer a operação da seguinte maneira:

a/b + c/d = a. d + c.b/b.d

Ex:

1)3/4 + 2/5

3/4 + 2/5 ? 3.5 + 2.4/4.5 ? 15 + 8/20 = 23/20

Portanto,

3/4 + 2/5 = 23/20

2) 1/7 + 9/10

1/7 + 9/10 ? 1.10 + 9.7/7.10 ? 10 +63/70 = 73/70

Portanto,

1/7 + 9/10 = 73/70

3) 1/4 + 1/100

1/4 + 1/100 ? 1.100 + 1.4/4.100 ? 100 +4/400 ? 104/400 = 13/50

Portanto,

1/4 + 1/100 = 13/50

Subtração de Frações

1º situação: denominadores iguais

Quando os denominadores de uma fração são iguais, os numeradores devem ser subtraído e o número do dominador permanece o mesmo.

Ex:

1)-7/2 – 9/2 – 1/2 ? -7 -9 -1/2 = 17/2

2) 21/4 – 19/4 + 31/4 ? 21 – 19 + 31/ 4 ? 52 – 19/4 = 33/4

2º situação: denominadores diferentes

Nos cálculos de subtração que envolve números no formato de fração com denominadores diferentes, deve-se gerar um novo denominador por meio da operação do mínimo múltiplo comum, mais conhecido como MMC, dos denominadores concedidos.

O novo denominador precisa ser dividido pelos denominadores existentes, multiplicando o quociente pelo numerador equivalente, compondo novas frações igualmente idênticas as anteriores, mas com denominadores iguais.

Ex:

1)-12/15 – 14/20

Efetuar o MMC entre 15 e 20

15 20 |2

15 10 |2

15 5 |3

5 1 |5

1 1 |

MMC: 2.2.3.5 = 60

A partir disso, temos:

-12/15 – 14/20 ? – 60:15.12/60 – 60:20.14/60 ? -48/60 – 42/60 ? -90/60 = -3/2

Portanto,

-12/15 – 14/20 = -3/2

Da mesma maneira que na adição, existe a forma análoga de realizar a operação sem o uso do MMC, a única diferença é que em vez do sinal de positivo usa-se o sinal de negativo.

Ex:

1)3/4 – 2/5

3/4 – 3/5 ? 3.5 – 2.4/ 4.5 ? 15 – 8/20 = 7/20

Portanto,

3/4 – 2/5 = 7/20

2) 22/32 – 21/31

22/32 – 21/31 ? 22.31 – 21.32/ 32.31 ? 682 – 672/ 992 ? 10/992 = 5/496