Adição e subtração de polinômio


Para tratar do polinômio é preciso levar em consideração os termos que o compõem, que no caso são os monômios. Um polinômio pode ser estruturado de diversas maneiras, para ser mais exato: de infinitas maneiras pode ser estruturado o polinômio por meio dos monômios.

No universo matemático, os polinômios estão localizados na álgebra, que é o estudo de números de letras, ao mesmo tempo. Ao passo que a aritmética apenas realiza formulações numéricas, sem que componentes extras estejam presentes como símbolos alfabéticos (a, b, x, etc) e outros existentes (π, ∆, etc) ao longo da ciência exata.

polinômio

A importância dos monômios para estudar os polinômios

A expressão algébrica possibilita o trabalho com os monômios de diversas formas. Não há limites para sua utilização, desde que as regras dos monômios sejam respeitadas.

De modo geral, todo monômio apresenta dois elementos fundamentais, que são o seu coeficiente, que nada mais é do que o número, e uma variável literal, representada por uma letra. Há situações que até mesmo potências podem ter monômios.

O monômio também é conhecido como termo algébrico, dada sua característica, pois apresenta números e letras. Sua determinação, porém, ocorre por meio de números reais, ou seja, podem ser constituídos com os seguintes elementos numéricos:

• Positivos;
• Negativos;
• Inteiros;
Racionais;
• Irracionais.

Além disso, sua composição pode se dar por meio de apenas uma variável:

2x;

Ou, por meio do produto de números e variáveis, como se segue:

4ab + 6ab = 10ab

Nos exemplos acima os números são os coeficientes (2, 4, 6, 10). Já as letras representam as variáveis (x, a, b).

A literatura matemática permite que os monômios sejam trabalhados por meio de graus, ou seja, expoentes numéricos, desde que o coeficiente seja diferente de zero (IR ≠ 0). A determinação desses graus ocorre com a somas entre todos os expoentes das partes literais, que são as letras:

455 → monômio de grau zero
abcd → monômio de 4º grau (1 + 1 + 1 + 1 = 4)
25x4b → monômio de 5º grau (4 + 1 = 5)
3ab – 2ab + 5ab = 6ab → monômio de 2º grau (1 + 1 = 2)

Os monômios também podem ser caracterizados como semelhantes quando suas partes literais são iguais, ou seja, as letras não possuem diferenças, configurando possíveis operações numéricas de adição e subtração, como seguem a seguir:

4xb + 5xb – 2xb = 7xb (4 + 5 – 2 = 7)
23×2 + 12×2 = 35×2 (23 + 12 = 35)
4ab3 + 7ab3 – 3ab3 = 8ab3 (4 + 7 – 3 = 8)

Operações com polinômios

Agora que conhecemos a importância dos termos monômios para os polinômios, também podemos entender melhor como podem ser realizadas as operações com estas, já que as possibilidades também são infinitas.

Porventura, algumas operações polinomiais podem ser resolvidas com adição e subtração monômica. Tal circunstância ocorre quando é possível a redução por meio de semelhanças entre os elementos que constituem o polinômio, como verificaremos a seguir:

5x – x + 3bc2 + 5bc2 = 4x + 8bc2
3ax3 + 5ax2 – 5ax2 + 3ax3 = 3ax3 + 3ax3 + 5ax2 – 5ax2 = 6ax3

Outro aspecto a ser ressaltado em relação aos polinômios é a sua classificação de acordo com a quantidade de termos monômios que o caracterizam, já que podem ser os seguintes:

• Monômio;
• Binômio;
• Trinômio.

Quando houver apenas um termo, o polinômio é classificado como monômio; para dois termos, como binômio; com três, trinômio; e, em situações no qual a quantidade ultrapassa os três elementos até mesmo depois de efetuada a redução com adição e subtração, a expressão será chamada polinômio, como demonstram os exemplos abaixo:

5t → Polinômio monominal
4x – 5 → Polinômio binominal
8a2 – x3 + 34 → Polinômio trinominal
6×6 – 12abc2 + b8 + 18 → Polinômio

Os graus abordados nos monômios também são estudados nos polinômios. Todavia, a determinação de grau no polinômio ocorrerá quando não for nulo seu valor e para as situações com mais de um termo de monômio o que constituir maior grau sobre os demais caracterizará o grau do polinômio. Para ficar mais claro veja os exemplos a seguir:

5x4b3 + 3x3b2 – 8xb5 → Polinômio de 7º grau
↕ ↕ ↕
7ºgrau 5ºgrau 6 grau

A adição e subtração dos polinômios devem ocorrer por meio de agrupamentos, obedecendo a mesma lógica dos monômios, observando-se os termos literais (letras) e, caso haja, os expoentes, como segue logo abaixo:

4mn5 – 5b3 + 3b3 – 2mn5 = 4mn5 – 2mn5 – 5b3 + 3b3 = 2mn5 – 2b3

Os polinômios, por sua vez, não se restringem apenas a adição e subtração. As operações matemáticas para os polinômios também podem ser realizadas por meio de multiplicações e divisões.

Os próprios termos variáveis, quando substituídos por número, (já que eles muitas vezes representam elementos numéricos desconhecidos) caracterizam operações de multiplicação. No entanto, o artigo se limitou apenas a explorar a adição e subtração dos polinômios.

A abordagem dos polinômios também ocorre de maneira extensiva em operações que envolvam equações do primeiro e segundo grau. Nessas situações os procedimentos relacionados com os polinômios seguem por lógicas distintas das que foram abordadas neste artigo, não diferenciando o lado sistemático.