Análise Combinatória e Binômio de Newton


A análise combinatória é importante em jogos, loterias, sorteios etc. A quantidade desses jogos que são pro­movidos pelo governo federal é um indicador de que a arrecadação de dinheiro é grande, mesmo que uma parte seja destinada a fins sociais ou assistenciais. Jogos como Mega-Sena, Lotomania e Lotofácil são exemplos de com­binações de uma certa quantidade de elementos.

As combinações se caracterizam pelo fato de que a or­dem dos elementos em cada grupo (em cada sorteio, no caso) não é relevante para a identificação da aposta premi­ada. Se o apostador tivesse de acertar os números na or­dem em que são sorteados, ganhar o prémio seria quase impossível!.

Análise Combinatória

Cl = 2 • (n – 2)! n – (n – 1) • (n – 2)
6 = 2 • (n – 2)! 12 = n2 – n n = 4 ou n = -3
não convém

IV. Exercício resolvido

Calcular p, sabendo-se que Cp = 21 e Ap= 2 520.
Ap Como cp = —f, então:
TV
21 =
2520
p! 2520
p!=-2T
p! = 120 => p = 5

I.    Exercício resolvido

Com as bebidas: vodca, rum e uísque, formar coque-téis diferentes usando duas bebidas diferentes. Podem ser feitos os coquetéis: VR – VU – RU. Es­ses agrupamentos só diferem entre si pela natureza de seus elementos. Pela fórmula, é calculado o número total de coque­téis possíveis: n!, n = 3 bebidas e p = 2 bebidas por (n-p)!p! coquetel formado.

C2 –         3! 3 ~ (3 – 2)!2!

Localizar os pontos sobre uma circunferência foi uma maneira de dizer que 3 deles nunca estão alinhados. Portanto, escolhendo 2 pontos em qualquer ordem, fica determinada uma reta. ( ^B ou BA ® a mesma reta.) Assim:
= 15 retas.
6!            6-5-4!
(6 – 2)! 2! ”  41-2-1

II.  Exercício resolvido

Calcular o número de comissões diferentes forma­das com as pessoas A, B, C, D, E, F, tendo cada co­missão 3 pessoas. Alguns agrupamentos que podem ser formados são: ABC, ABD, BCD, CEF etc. Eles diferem entre si somente pela natureza de seus elementos.

BINÔMIO DE NEWTON

Dos assuntos que são abordados em Matemática, os binômios de Newton são relevantes nos estudos que en­volvem problemas de Genética e de probabilidades. Por exemplo, um casal tem planos de ter 3 filhos. Qual é a probabilidade de nascerem 2 meninas e l menino?

A soma S dos coeficientes pode ser dada por: 8 = 1 + 5 + 10+ 10+ 5 + 1 = 32 Ou, simplesmente, segue-se a regra: Para obter a soma dos coeficientes, basta considerar cada letra da base da potência igual a 1.

Assim:

•     p = O -» T, = CJ • a° • xn^> = xn
Uma das maneiras de resolver o problema apresentado é desenvolver um binômio, do tipo (x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3. Associa-se o termo x às meninas e o termo a ao menino. Como são duas meninas e um menino, no binômio desenvolvido o termo que interessa à resolução é o termo 3x2a, que indica 2 vezes as meninas e l vez o menino.

Sendo 8 as possibilidades de nascimento, 2-2-2 = 8, a probabilidade de nascerem duas meninas e um menino é igual a —. Nesse caso, utilizou-se apenas o coeficiente o do termo 3x2a.

Denominam-se binômio de Newton as potências do tipo (x + a)n, com n natural. A seguir, são apresentados alguns exemplos de binômios com seus desenvolvimentos, que são obtidos efetuando-se os produtos que as potências representam.
• n = l -> (x + a)1 = x + a
• n = 2 -» (x + a)2 = (x + a) (x + a)
• (x + a)2 = x2 + 2ax + a2
•    n = 3 -> (x + a)3 = (x + a) (x + a) (x + a)
• (x + a)3 = (x2 + 2xa + a2) (x + a) (x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
•    n = 4 -> (x + a)4 = (x + a) (x + a) (x + a) (x + a)
• (x + a)4 = (x3 + 3x2a + 3xa2) (x + a) (x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4

Soma dos coeficientes do desenvolvimento de um binômio de Newton

Considerar o desenvolvimento de (x + a)5.
(x + a)5 = l x5 + 5xV + 10x3a2 + 10x2a3 + 5x’a4 + Ia5

1º termo do desenvolvimento
•     p = l -> T2= C| • a1 • x”-1 = n • x””1 • a1
2º termo do desenvolvimento
fn-2 . Q2
p = 2-»T3=C2 • a2-xn-2 =
3º termo do desenvolvimento

A fórmula do termo geral permite:
•        obter diretamente um termo qualquer, independentemente do desenvolvimento do binômio;
•        calcular o termo independente de x, isto é, o termo do desenvolvimento que não tenha x;
•        calcular o termo em xr, sendo r um nú­mero racional qualquer.