Polinômio: O que é, Operações e Funções


Polinômio de uma variável

É toda expressão reduzida e ordenada representada pela forma P(x) = anxn + an_1xn~1 + an_2xn~2 + … + atx + a0 em que n é um número natural e an, an_j, an_2, …, at e a0são os coeficientes. O coeficiente a0 é denominado termo inde­pendente.

Grau de um polinômio

Polinômio

O grau do polinômio P(x) é dado por n, que é um número inteiro não negativo e representa o maior grau observado entre os graus dos monômios que compõem o polinômio.
•         A(x) = 2×3 – 5×2 + 2x – 3 -» gr(A) = 3
•         B(x) = 4×5 – 5×3 + 4x -4 gr(B) = 5
•         C(x) = 5 ou C(x) – 5x° -> gr(C) = O

Polinômio nulo

O grau do polinómio nulo P(x) = O não é defi­nido.

Polinômios idênticos

Dois polinômios, P(x) e Q(x), são idênticos quando têm valores numéricos iguais, para qualquer valor que  áj se atribua a x. Escreve-se: P(x) = Q(x). A condição ne­cessária e suficiente para que dois polinômios de uma   EB variável sejam idênticos é que os coeficientes dos ter­mos de mesmo grau sejam iguais.

Valor numérico de um polinômio

É o valor que o polinômio assume para um determi­nado valor da variável x. Se x = a, indica-se esse valor numérico por P(a).

Exercício resolvido

Sendo P(x) = x5 + 2×3 – x2 – l, calcular P(0) e P(-l).
P(0) = O5 + 2 • O3 – O2 – l = -l

Logo,
P(x) =  Q(x)

Observação: Quando ocorrer P(a) = O dizemos que a é raiz ou zero do polinômio P.

Exercício resolvido

Determinar os valores de a, b, c e d para que P(x) = 2×3 – 5x + 6 seja idêntico ao polinómio Q(x) – ax3 + bx2 + cx + d. Comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau, conclui-se que:
•  coeficientes de x3: 2                    a = 2
•  coeficientes de x2: O = b              b = O
•  coeficientes de x: -5 = c               c = -5
•  termos independentes: 6 = d         d = 6

As raízes ou zeros de P(x) = x2 – 5x + 6 são 2 e 3, pois P(2) = 22-5-2 + 6 = 0 P(3) = 32-5-3 + 6 = 0.

Operações com polinômios

Adição de polinômios

Dados dois monômios semelhantes axn e bxn, sua soma é definida pelo monômio (a + b)xn. Dados dois polinômios, P(x) e Q(x), sua soma é de­finida por um novo polinômio, cujos termos são as so­mas dos pares de termos semelhantes nos polinômios-parcelas.

Observação

Os polinômios envolvidos na divisão devem sa­tisfazer as seguintes condições:
•           D(x) – d(x) • Q(x) + R(x)
•           gr(R) < gr(d) ou R(x) = O

Observação

Sendo gr(P) e gr(Q) os graus dos polinômios P(x) e Q(x), então
gr(P) = gr(Q)                  gr(P + Q) < gr(P) gr(P) > gr (Q)                 gr(P + Q) = gr(P)

Teorema do Resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo (ax + b) é igual ao valor numérico de P(x) para x igual à raiz do divisor.

Exercício resolvido

Dados A(x) = 3×3 – 5×2 + 4x – l e B(x) – 3×2 – 2x + 5, tem-se
•         A(x) + B(x) = 3×3 – 2×2 + 2x + 4
•         A(x) – B(x) = 3×3 – 8×2 + 6x – 6

Multiplicação de polinômios

Dados dois polinômios, axp e bxq, define-se o seu produto como sendo o monômio (ab)xp + q. Dados dois polinômios, A(x) e B(x), seu produto é definido pelo polinômio P(x), cujos termos são obtidos multiplicando-se cada termo de A(x) pelos termos de B(x) e somando-se os termos semelhantes assim obtidos. O grau de P(x) é a soma dos graus de A(x) e B(x).

Curiosidade

Jean Lê RondD ‘Alembert (l 717-1783), célebre matemático, tem seu nome inspirado na igreja de St. Jean Baptiste lê Rond, perto de Notre-Dame de Paris, pois foi encontrado ali abandonado, quando era bebé.

Observação

Sendo gr(A) e gr(B) os graus dos polinômios A(x) e B(x), então gr(A • B) – gr(A) + gr(B).

Exercício resolvido

Dados A(x) = x2 + 4x e B(x) = 3x + 5, temos, por meio da propriedade distributiva:
•     A(x) • B(x) – (x2 + 4x) • (3x + 5) = 3×3 + l7x2 + 20x

Divisão de polinômios

Considere os polinômios D(x) e d(x), não-nulos, tais que o grau de D(x) seja maior ou igual ao grau de d(x). Nessas condições, podemos efetuar a divisão de D(x) por d(x), encontrando dois polinômios: Q(x) e R(x).

Algoritmo de Briot-Ruffini

Consiste em um dispositivo prático para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a).

Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini: raiz do divisor

Considerar

P(x) = anxn + a^x”-1 + an_2xn-2 + … + a,x + a0.
Esse dispositivo pode ser descrito pelos seguintes passos: •     dispor todos os coeficientes de P(x) na chave;

• abaixa-se” o lº coeficiente do di­videndo. Então: (-2) • (2) + O – -4

•     colocar à esquerda a raiz de (x – a);
Daí,
(-2) • (-4) + (-2) = 6
-4
resto coeficientes do quociente

• “abaixar” o primeiro coeficiente (an), que corres­ponde ao primeiro coeficiente do quociente. Em seguida, multiplicar an pela raiz a e somar o re­sultado ao segundo coeficiente de P(x), obtendo o segundo coeficiente do quociente;
(-2)-(6)+ l =-11
U
Logo, Q(x) = 2×2 – 4x + 6

• multiplicar o resultado obtido por a, para o se­gundo coeficiente do quociente. Somar esse re­sultado ao terceiro coeficiente de P(x), e assim sucessivamente.

Observação

O polinômio P(x) deve ser tomado em sua for­ma completa. Atribui-se coeficiente zero aos termos que eventualmente faltarem.