Composição de três ou mais funções

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função: em matemática, podemos definir função como a relação entre dois conjuntos, ou seja, para cada elemento do conjunto A, existe um elemento correspondente do conjunto B. É claro que isso tudo segue uma lógica. Funciona mais ou menos como se você fosse fazer uma viagem de avião com escala. O destino final seria o mesmo que o de um voo direto, porém com uma “parada” em determinado ponto do caminho.

Também chamadas de “mapa” ou “transformação”, as funções baseiam-se em fórmulas matemáticas, equações, gráficos e diagramas e algumas vezes não representam apenas números: trata-se de um conjunto chamado domínio, associado a outro chamado contradomínio. O conjunto obtido de elementos associados denomina-se conjunto imagem. Quando ambas as condições são atendidas, denomina-se função multivalorada, e quando somente a primeira condição é atendida, e a segunda não, denomina-se função parcial.

Imagine agora uma função que não pode ser definida de forma exata. Ela depende de uma condição variável x, que por sua vez, depende de outra variável y, e isso faz com que ela esteja indiretamente ligada à variável y e se altere, à medida que essa variável também se altera. Seria mais ou menos como combinar uma função com outra, e a esse processo dá-se o nome de composição de três ou mais funções.

Composição de três ou mais funções

Uma composição de três ou mais funções pode ser usada para definir, por exemplo, a emissão de poluentes dos veículos de uma determinada localidade. A concentração dessas substâncias varia em função da quantidade de veículos, o que também varia de acordo com o dia, horário, época. Dessa forma, seria necessário associar todos estes elementos variáveis para efetivar o cálculo.

Uma composição de três ou mais funções seria definida assim: Função f o g (f bola g) = f(g(x)), ou seja, função composta de f com g em relação à x. Porém, para que este cálculo seja possível g deve estar contida no domínio de f, e x deve estar contida no domínio de g. Para chegar a essa conclusão, contudo, é necessário resolver primeiro cada uma das funções separadamente.

Resumidamente, composição pode definir a situação em que o conjunto imagem de uma função serve como conjunto domínio para uma terceira. Essa terceira função gera, então, um novo conjunto imagem.
Antes de calcular uma composição de três ou mais funções também sugerimos que elas sejam decompostas até atingir sua forma mais simples. É importante lembrar que o valor para cada uma das funções envolvidas na composição deve seguir sempre a mesma escala da função composta encontrada.

Como calcular a composição de três ou mais funções

Para calcular uma composição entre três ou mais funções, basta seguir a seguinte representação:

Dadas as funções:

f : A – B
g : B – C

Então:

g o f = A – C

Dada a associação entre as funções, temos:

f = A – B ; g = B – C ; h = C – D

Sendo assim: (h o g) o f = h o (g o f)

Ou: h o g o f = A – D

Para que essa definição esteja correta, o domínio de g deve obrigatoriamente conter a imagem de f(A).

Agora que você já entendeu a representação, vamos partir para a segunda etapa. Uma composição de três ou mais funções pode ser facilmente resolvida, se seguirmos o seguinte esquema:
Dadas as funções: f(x) ; g(x) e h(x)

Basta calcularmos: g(x) – g(h(x))

f(x) – f(g(h(x)))

Substituindo as letras pela equação de cada função, encontraremos a constante de cada uma delas. A partir daí, basta substituir a incógnita das equações pelas raízes já encontradas e o produto poderá ser obtido.

No caso de (f(g(i(x)))), a dica é começar a resolver a composição de dentro para fora. Por exemplo, resolvemos i(x), depois g(i(x)). E por fim, encontraremos f(g(i(x))), que definirá a lei da composição de três ou mais funções. Para entender melhor essa lógica, vamos ter em mente que a função começa no x, e passa em seguida para o f, por isso a definição f(x). Mas por que não (x)f? Porque a definição oficialmente adotada é f(x).

Elementos de composição de uma função

Uma função é formada pelos seguintes elementos de composição:

• Conjunto D (domínio) que representa onde a função é definida.
• Conjunto CD (contradomínio) que contém os elementos que se relacionam com o domínio.
• Conjunto Imagem que pode ser entendido como um subconjunto do Conjunto Contradomínio, e consiste na representação dos valores efetivos de x.
• Regra, ou lei de associação, que é a lógica que a função irá seguir para estabelecer a correspondência entre os elementos de cada conjunto.

De acordo com a regra, as funções podem ser classificadas em polinomiais (representadas por um polinômio, que podem ser lineares – duas propriedades – ou quadráticas – quando definidas por um polinômio do segundo grau) ou exponenciais (definidas por um logaritmo).