Domínio e Composição de Função e Função Inversa


Estudo do sinal da função do 2° grau

O valor numérico de y em y = f(x) = ax2 + bx + c (a, b e c e IR, a * 0) pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do valor numérico de x. Os valores de y de­pendem do discriminante A = b2 – 4ac, que pode ocorrer das formas a seguir.

•     Se A > O, a função quadrática admite duas raízes reais e distintas.

Domínio e Composição de Função

Exercício resolvido

Estudar o sinal de y em y = f(x) = 2x – 4. A função do 1° grau dada é crescente, pois m = 2 > 0. Fazendo f(x) = O, tem-se 2x-4 = 0=>x = 2.
Análise gráfica:

•     Se A = O, a função quadrática admite duas raízes reais e iguais.

Conforme o esboço gráfico, tem-se:
•         para x < 2 => y < O (segmento da reta abaixo do eixo x); •         para x = 2 => y = O (ponto da reta situado no eixo x);
•         para x > 2 => y > O (segmento da reta acima do eixo x).

II.  Exercício resolvido

Estudar o sinal de y em y = f(x) = -3x + 6. A função do lº grau dada é decrescente, pois m = – 3 < 0. Fazendo f(x) = O, tem-se -3x + 6 = 0=>x = 2. Análise gráfica: Se A < O, a função quadrática não possui raízes reais. Resumindo: Dada a função do 2? grau y = f(x) = ax2 + bx + c (a, b e c e IR, a ^ 0), então os sinais de f podem ser analisados conforme os esquemas a seguir. Domínio de funções O domínio de uma função real de variável real represen­tada por y = f(x) é dado por um subconjunto de IR. Obter este subconjunto significa determinar os valores da variável x para os quais existem valores reais de y em correspondência. Em um gráfico, o domínio é a projeção que representa a função sobre o eixo x. Quando a função y = f(x) é fornecida sem o gráfico, o domínio é determinado procurando-se os valores reais de x que tornam y real. A partir da sentença que define a função y = f(x), impõem-se regras que condici­onam a existência da função, conforme os modelos clássicos apresentados a seguir. Observações As relações citadas anteriormente, no qua­dro, não devem ser consideradas como fór­mulas, pois representam apenas condições de existência da função. O cálculo do domínio é realizado a partir do estudo dos sinais da função e sua análi­se na reta real. Examinando-se gráficos de funções é possível ob­servar que, em certo sentido, alguns deles apresentam características especiais. Conhecer algumas dessas carac­terísticas pode auxiliar no estudo e compreensão do grá­fico de uma função mais completa. Ideia: A função f: IR —» IR definida por y = f(x) = x3 é uma função ímpar, pois arbitrando dois valores simétricos para x € D(f), obtém-se x e CD(f), com valores também si­métricos. Observe o esquema a seguir. Para x = +2 -» f(+2) = f(+2)3 = 8 Para x = -2 -» f(-2) = f(-2)3 = -8 f(-x) = -f(x)   Paridade de funções Função par Uma função y = f(x) qualquer é uma função par se f(x) = f(-x) para todo x e D(f). Ideia: A função f: IR -> IR definida por y = f(x) = x2 é uma função par, pois arbitrando dois valores simétricos para x e D(f), obtemos y e CD(f) iguais. Observe o esquema a seguir.

Observações

Decorre da definição de função ímpar que seu gráfico cartesiano é simétrico em rela­ção à origem, conforme exemplo abaixo.

Para x = +2 -> f (+2) = (+2)2  = 4 Para x = -2 -> f(-2) = (-2)2  = 4

f(x) = f(-x)

Observação

Decorre da definição de função par que seu grá­fico cartesiano é simétrico em relação ao eixo y, conforme exemplo abaixo.

Função ímpar

Uma função y = f(x) qualquer é uma função ímpar se   f(-x) = -f(x) para todo x e D(f).

Composição de funções

Dadas as funções f: A -> B e g: B -» C, denomina-se função composta de g com f a função (gof) (x) = g(f(x)), com x pertencente a A.

I.    Exercício resolvido

Determine a função composta (gof) (x) sendo f(x) = 3 x e g(x) = x2. Calcule, em seguida, o valor numérico de (gof) (2).
(gof) (x) = g [f(x)] = ?

Portanto:
g(x) = x2 => g(f(x)) = (f(x))2 =>

=> g(f(x)) = (3x)2 => g(f(x)) = 9×2

Então:

(gof) (2) => g(f(2)) = 9(2)2 = 36

II.   Exercício resolvido

Dados f(x) = 4 -2x e f(g(x)) = 5x -4, calcule g(x). f (x) = 4 – 2x => f (g(x)) = 4 – 2g(x) =>

Função bijetora

Diz-se que f: A —> B é uma função bijetora quando for, simultaneamente, injetora e sobrejetora.

5x – 4 = 4 – 2g(x) => g(x) =

-5x +

Classificação de funções Função injetora

Diz-se que f: A —» B é uma função injetora quando elementos diferentes do domínio da função correspon­dem a elementos diferentes do contradomínio da função, x, ?t x2 => y, * y2.

Função inversa

Dada uma função bijetora f: A —> B, chama-se fun­ção inversa de f a função f’1: A -> B tal que, se f(x) = y, então f”1 (y) = x.

Função sobrejetora

Diz-se que f: A —> B é uma função sobrejetora quan­do todo elemento do domínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio, isto é, quando o con­junto imagem for igual ao contradomínio da função. Portanto Im(f) = CD(f) = B.

Processo algébrico para cálculo da função inversa

Para se obter a função inversa é preciso seguir os seguintes passos:
•         trocar x por y e y por x;
•         isolar a variável y.

Exercício resolvido

Determine a função inversa da função bijetora em IR definida por y = f(x) = 3x – 4.
1a. etapa => Trocar x por y e y por x.

Gráfico da função inversa

As curvas representativas de f e f”1 são simétricas em relação à reta y = x, denominada bissetriz dos qua­drantes ímpares, isto é, do primeiro e do terceiro qua­drantes. Observe o quadro a seguir.