Equação Modular

Para entendermos o que é uma equação modular, antes é preciso analisar um conceito: módulo. Um módulo é caracterizado como a distância entre um número e zero. Levando em conta que um valor de distância será sempre positivo, então, o módulo de um número também terá um valor positivo em qualquer situação.

Definindo matematicamente um módulo

Imaginando um número real x, o seu módulo – que será representado por |x| – é igual a x, se x > 0, e a -x, se x < 0.

Na sequência numérica – 4, 0 e 4, é possível notar que a distância entre os números é a idêntica. Assim, o valor absoluto desses números (- 4 e +4), representados na forma |– 4| e |+ 4|, é 4.

Veja abaixo alguns exemplos:

|+3| = 3 e |–3| = –(–3) = 3

|10| = 10 e |–10| = –(–10) = 10

|x – 4| =
x – 4, apenas se x – 4 > 0, isto é, x > 4
– (x – 4), apenas se x – 4 < 0, isto é, x < 4 • Determinar o valor que equivale ao módulo de 4 e de – 4. Seguindo a regra de representação (|x| = x, se x > 0), teremos então |4| = 4, já que 4 > 0. No segundo caso, se x < 0, temos a definição, |x| = – x. Fica, então, da seguinte forma: |– 4| = – (– 4) = 4.

As equações modulares

São caracterizadas como equações modulares aquelas em que aparecem módulos de expressões que têm incógnitas.

Confira abaixo alguns exemplos:

|x| = 5

|x + 2| = x + 2

|x – 1| + 3x = 4

|x + 4| = 8

|x + 5| = 7

|x| – 8 = 7

– |4x| = 12

3.|x|2 – 8.|x| + 5 = 0

|x2 – 2x + 8| = 32

Veja abaixo alguns exercícios que envolvem equações modulares:

– Exercício 1

|x + 1| = 3, sendo que x + 1 = 3 ou x + 1 = – 3

x + 1 = 3 >>> x = 3 – 2 >>> x = 1
x + 1 = – 3 >>> x = – 3 – 2 >>> x = – 5

A solução é, portanto {–5; 1}

– Exercício 2

|2x – 6| = x + 1, sendo que |2x – 6| > 0

Levando isso em conta, a equação modular só será possível se x + 1 > 0, x > –1.

|2x – 6| = x + 1
2x – 6 = x + 1 ou 2x – 6 = – (x + 1)

2x – 6 = x + 1 >>> 2x – x = 1 + 6 >>> x = 7

2x – 6 = – (x + 1) >>> 2x – 6 = – x – 1 >>> 2x + x = – 1 + 6 >>> 3x = 5 >>> x = 5/3

Nota-se que x = 7 e que x = 5/3, tornando verdadeira a condição x > – 1. Com isso, o conjunto solução é {5/3; 7}

– Exercício 3

|x + 1| = |x – 2|

x + 1 = x – 2 >>> x – x = – 2 – 1 >>> 0x = – 3 (não é possível)

x + 1 = – (x – 2) >>> x + 1 = – x + 2 >>> x + x = 2 – 1 >>> 2x = 1 >>> x = 1/2

O conjunto solução neste caso é {1/2}.

– Exercício 4

|x² – 3x + 4| = 1

x² – 3x + 4 = 1 >>> x² – 3x + 4 – 1 = 0 >>> x² – 3x + 3 = 0 (A fórmula de Bhaskara aparece porque há duas raízes reais)

x² – 3x + 4 = – 1 >>> x² – 3x + 4 + 1 = 0 >>> x² – 3x + 5 = 0 (Com duas raízes reais, a fórmula de Bhaskara aparece mais uma vez)

– Exercício 5

|x| = 6

Levando em conta a equação modular acima, para desvendar o valor de x temos analisar conforme o seguinte pensamento: um número real sempre terá valor positivo como resultado do seu módulo; 6 é positivo, mas o valor do x pode ser tanto + 6 quanto – 6, isso porque |+6| = 6 e |–6| = 6. A distância é a mesma. Com isso, x = 6 ou x = –6.

– Exercício 6

|x + 3| = 5

x + 3 = 5 x = 5 – 3 >>> x = 2
x + 3 = – 5 >>> x = – 5 – 3 >>> x = – 8

– Exercício 7

|x + 5| = x + 5,

Levando em conta a condição x + 5 > 0, essa equação só é possível se x + 6 > 0, isto é, x > – 6.

x + 5 = x + 5 >>> x – x = 5 – 5 >>> 0x = 0 (indeterminado)
x + 5 = – (x + 5) >>> x + 5 = – x – 5 >>> x + x = – 5 – 5 >>> 2x = – 10 >>> x = – 5

A solução é {x ? R / x = – 5}.

– Exercício 8

|x – 3| + 4x = 8
|x – 3| = 8 – 4x

x – 3 = 8 – 4x >>> x + 4x = 8 + 3 >>> 5x = 11 >>> x = 11/5 (não corresponde à condição x < 2) x – 3 = – (8 – 4x) >>> x – 3 = – 8 + 4x >>> x – 4x = – 8 + 3 >>> – 3x = – 5 >>> x = 5/3 (corresponde à condição x < 2)

A solução, portanto, é {x ? R / x = 5/3}.