Fatorial e o Principio Fundamental da Contagem


Fatorial

Na matemática é comum usar equações pra solucionar várias situações-problema. Há recursos para solucionar certos modelos de equações; princípios e métodos para solução de outras; a utilização de adequações operatória para facilitar os cálculos; em fim, usam-se todos os entendimentos matemáticos para conseguir o valor da incógnita de uma equação.

Em certas equações surgem a definição de fatorial, apresentando a urgência de conhecer melhor o conceito de fatorial e suas particularidades operatórias.

O fatorial de um dado número representado por n, onde n faz parte do conjunto dos números naturais, será sempre o resultado de todos os seus precursores, contando com si mesmo e eliminando o zero.

Principio Fundamental da Contagem

A apresentação se dá pelo número fatorial acompanhado pelo sinal de exclamação, n!

n! = n. (n – 1). (n – 2). (n – 3). … 3. 2. 1

Ex:

6! = 6. (6 – 1). (6 – 2). (6 – 3)!

6! = 6. 5. 4. 3!

6! = 120. 3!

6! = 120. 3. (3 – 1). (3 – 2)!

6! = 120. 3. 2. 1!

6! = 120. 6

6! = 720

O número fatorial também pode ser mudado para outras formas:

Ex:

6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1

6! = 720

É importante lembra que n>=0, isto é, o fatorial pode ser maior ou igual a zero, não há fatorial para números negativos.

O fatorial de 0! será sempre 1, uma vez que o resultado de um número nulo é igual a 1.

Divisão de fatoriais

Os fatoriais são muito usados em análise combinatória. Há n! trajetos distintos de adquirir n arranjos diversos em uma sequência, denominados de permutações.

Onde:

n! = n. (n – 1)! = n. (n – 1)!= n

(n – 1)! (n – 1)! (n – 1)!

(n + 5)! = (n + 5). (n + 4)! = (n + 5). (n + 4)! = n + 5

(n + 4)! (n + 4)! (n + 4)!

Os fatoriais também podem ser encontrados em cálculo como, por exemplo, no teorema de Taylor, que representa a função f(x) como várias potências em x. O motivo principal é que o n provindo de xn é n! Os fatoriais também podem ser usados na teoria da probabilidade.

ATENÇÃO!

Existem operações que não pertinentes:

n! + x! = (n + x)!

n! – x! = (n – x)!

n! . x! = (n . x)!

Ex:

n! = 7

(n – 1)!

– Primeiramente é preciso expor o fatorial no denominador ou no numerador da fração com o objetivo de cancelar o fatorial.

Pode-se escrever o fatorial da seguinte maneira:

n! = n. (n – 1)!

– Substituir na equação inicial

n. (n – 1)! = 7

(n – 1)!

n. (n – 1)! = 7

(n – 1)

n = 7

Principio Fundamental da Contagem

O principio fundamental da contagem está relacionado com os eventos que abrangem as probabilidades de um certo fato acontecer como, por exemplo, as diferentes maneiras de organizar pessoas em filas, as prováveis combinações da Mega Sena, entre outras.

O principio fundamental da contagem é a condição básica da Análise Combinatória, por meio dele elaboram-se métodos e técnicas de contagem na solução de problemas.

O principio fundamental da contagem é igual à regra do produto, uma norma combinatória que mostra quantas vezes e as diversas maneiras que um evento pode acontecer.

O fato é constituído por duas etapas descritas como sucessivas e independentes:

– a primeira etapa pode acontecer de m maneiras diferentes;

– a segunda etapa pode acontecer de n maneiras diferentes.

Dessa maneira, pode-se dizer que a quantidade de maneiras distintas que pode acontecer em um fato é igual ao resultado de m. n.

Ex:

Para construir um computador, existem 3 modelos diferentes de monitores, 4 modelos de teclado, 2 modelos de impressora e 3 modelos de CPU. Para descobrir quantas possibilidades podem ser formadas com essas peças, usa-se o principio fundamental da contagem, onde multiplicasse todas as opções.

3. 4. 2. 3 = 72

Portanto, tem-se 72 diferentes possibilidades de montagem.

Agora, quando no problema aparece a expressão “ou”, a resolução muda.

Ex:

1) Em um restaurante existe 3 modelos de arroz, 2 modelos de feijão, 3 modelos de macarrão, 2 modelos de cerveja e 3 modelos de refrigerante. Quantas opções de pratos distintos o cliente pode pedir sendo que o refrigerante e a cerveja não podem ser pedidos juntos, e que o mesmo precise escolher uma opção de cada alimento.

– Resultado para a comida

3. 2. 3 = 18

– Como as opções de bebidas são diferentes não podem ser multiplicadas, apenas somada.

(3. 2. 3) . (2 + 3) = 90

Portanto, há 90 possibilidades diferentes de pratos que podem ser organizados com as bebidas e comidas disponíveis.

2) As placas de carro são compostas por 3 letras e quatro números. Quantas placas podem ser formadas, sendo que o último número tem que ser par.

– Primeiro multiplicasse as 26 letras do alfabeto que podem ser usadas três vezes, ocupando os três espaços disponíveis.

26. 26. 26 = 17.576

– Depois multiplicamos as possibilidades de números pelas posições disponíveis, restringindo a ultima posição a quantidade de números pares.

10. 10. 10. 5 = 5000

– Por fim, multiplicam-se as duas partes.

17.576 x 5000 = 87.880.000

Portanto, há 87.880.000 placas que podem ser formadas com o último número sendo par.