Forma Geral de Arcos Côngruos


Quando você chega ao ensino médio, eis que uma nova ramificação da matemática passa a fazer parte da sua vida: trigonometria. A princípio, parece algo extremamente assustador, assim como todas as matérias novas que vão surgindo, conforme você avança nos estudos. Mas muitas delas deixam de parecer tão difíceis quando você começa a entender e, em pouco tempo, você já está tirando de letra (ou de números). Dentro da trigonometria, como em qualquer outra matéria, você vai aprender sobre diversos temas e tópicos e hoje vamos abordar um deles em especial: os arcos côngruos.

Forma Geral de Arcos Côngruos

Você sabe o que são arcos côngruos? Pense em um círculo trigonométrico, com seus respectivos arcos. Em um círculo, os arcos são desenhados em sentido anti-horário e todos eles têm origens e extremidades, que são as chamadas determinações. É possível que dois ou mais destes arcos possuam as mesmas determinações, mas isso não significa que eles sejam necessariamente do mesmo comprimento. Isso porque o número de voltas completas que ele apresenta pode diferir, mesmo nos arcos que possuem determinações idênticas. Esses ângulos que possuem as mesmas determinações são denominados arcos côngruos. Quando esse fenômeno ocorre, a solução é aplicar uma definição que se encaixe de forma geral para todos estes arcos e seus côngruos.

Ao chegar nessa parte da matéria, você provavelmente já aprendeu a localizar pontos dentro do ciclo trigonométrico, ou melhor, identificar os pontos pertencentes a cada ângulo. Quando um arco mede menos que 360º, costumamos dizer que ele está na primeira volta, ou seja, não chegou a completar uma volta inteira nenhuma vez. A partir daí, a cada 360º a mais, consideramos que o ângulo deu mais uma volta. Pensando por este lado, fica mais fácil de entender que nem todo arco que começa no mesmo lugar que outro e também termina no mesmo lugar que outro, tem o mesmo número de voltas que o outro.

Como funciona?

Para você entender melhor, vamos dar um exemplo prático. Pense em um ângulo de 780º. 360º X 2 = 720º. Isso significa que o arco deu duas voltas completas e ainda sobraram 60º, certo. Agora pense que no mesmo círculo trigonométrico há outro arco de apenas 60º. Agora pense que ambos começam e terminam no mesmo ponto da circunferência. A diferença entre eles é somente as duas voltas dadas pelo primeiro arco e, embora em comprimento seja de 720º, as chamadas determinações (das quais falamos lá em cima, lembra?) serão as mesmas para ambos. Dessa forma, eles podem ser considerados arcos côngruos. Não importa se o comprimento é o mesmo, se tem diferença de 360º ou de 3.600º. Uma vez começados e terminados num mesmo ponto da circunferência, podem ser considerados arcos côngruos.

O objetivo deste artigo é eliminar as dúvidas que fazem com que alunos confundam uma matéria que fica fácil se entendermos corretamente. Outro aspecto importante a ser considerado são as representações. Em matemática, estamos acostumados a ver fórmulas e equações para a solução de cada tipo de problema. Em trigonometria, funciona mais ou menos da mesma forma. Cada situação relacionada a arcos e ângulos, além da representação gráfica, que às vezes aparece, precisa de uma representação em formato parecido com uma fórmula, ou melhor, forma. E uma vez definida a forma, é essa forma que vai ser usada sempre que situação àquela semelhante acontecer.

Como são representados

Quando falamos em arcos, existem certos elementos e fórmulas utilizados para representar cada situação. No caso dos arcos côngruos, vamos pensar em um arco que meça α graus. Vamos pensar também que existem alguns outros arcos que são côngruos a ele. Estes arcos côngruos poderão ser representados assim: α + 360º*k, k ? Z. E durante a sua vida escolar, você ainda verá casos em que a medida dos ângulos dos arcos são dadas em radianos. Nesse caso, não se assuste, pois há outra fórmula de representação a ser aplicada: α + 2π*k, k ? Z. Não há motivo para se desesperar, basta usar essa outra forma de representação.

Todo ângulo tem, porém, uma determinação principal. Neste caso, ela pode ser definida com base nos seguintes critérios: 0º ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2π. Acontece que algumas vezes vão aparecer exercícios com ângulos que ultrapassam os 360º. Isso costuma confundir muitos estudantes em importantes provas ou até mesmo no vestibular. O aluno fica sem saber onde o ângulo se encaixa e acaba perdendo pontos em uma matéria na qual já possui conhecimentos. Neste caso, antes de aplicar qualquer forma, você deve fazer o seguinte: divida a medida do ângulo por 360. O resto dessa divisão é o que deve ser considerado como a medida principal do ângulo. O quociente representa a quantidade de voltas realizadas pelo arco. Simples, não?

Mesmo após ler, se ainda ficou alguma dúvida, converse com o seu professor e comece a colocar em prática estes novos conhecimentos adquiridos agora mesmo.