Matrizes: Definição, Características e Propriedades


Introdução

Os estudos sobre métodos de resolução ou discussão de um sistema de equações levaram os matemáticos a criar um novo ente – a matriz -, que a curiosidade hu­mana passou a explorar. Com as matrizes, surge um novo universo matemáti­co. Agora não operamos apenas com números reais, mas também com matrizes.

Matrizes

Esse conceito, desenvolvido a princípio como pura investigação matemática, tornou-se um importante ins­trumento, gerando um novo e imenso campo de estudo: a Álgebra Linear.

Definição

Dados dois números naturais m e n não-nulos, de­nomina-se matriz m por n (indica-se m x n) toda tabela formada por (m • n) elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto latino e representadas utilizando-se parênteses ou colchetes. Um elemento genérico de uma matriz A é simboliza­do por a.., em que i indica a linha e j a coluna a que pertence o elemento.

Numa matriz quadrada destacam-se
•         diagonal principal: au e a22.
•         diagonal secundária: a12 e a21.

Nesta matriz quadrada de ordem 3, tem-se
•         diagonal principal: an, a22 e a33;
•         diagonal secundária: a,3, a22 e a31.

Matrizes especiais

Existem matrizes que apresentam maior utilidade e possuem um nome diferenciado (especial).

•    Matriz nula é toda matriz que tem todos os ele­mentos iguais a zero. Representa-se por Om x n.

Matriz identidade de ordem n ou matriz uni­dade de ordem n é toda matriz quadrada no qual os elementos de sua diagonal principal são iguais a l e os demais, nulos.

• Matriz oposta de A é a matriz que se obtém de A, trocando-se o sinal de cada um de seus elementos. Representa-se por -A.

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A = (a..) e B = (b..), são iguais se forem do mesmo tipo m x n e apresentarem todos os elementos correspondentes iguais.

Multiplicação de matrizes

Dadas as matrizes A e B definimos o produto de A por B como sendo uma matriz C, com as seguintes características:

Adição de matrizes

A soma de duas matrizes A e B do tipo m x n é uma matriz C do mesmo tipo, em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B. O número de colunas da matriz A (1° fator) deve ser, obrigatoriamente, igual ao número de linhas da matriz B (2° fator), para que o produto exista.
O produto C tem m linhas e p colunas.

Propriedades da multiplicação de matrizes

Sejam A, B e C matrizes conformes para a multipli­cação e adição.

1a. propriedade – associativa: ABC = (AB)C = A(BC)
2a propriedade – distributiva: A(B + C) = AB + AC
3a. propriedade – iguais
4a. propriedade – elemento neutro – matriz identidade (ou unidade de ordem n)
5a. propriedade – anticomutativa – De um modo geral, AB ^ BA. Há casos especiais, que estudaremos, em que AB = BA. Nesse caso, dizemos que A e B comutam.
6a. propriedade – O produto de duas matrizes não-nulas poderá ser uma matriz nula.