Matrizes: Inversão de matrizes


A matriz é caracterizada como inversível se, e apenas se, o seu determinante não for zero, e é retratada pelo número -1 escrito sobre o nome da matriz.
Exemplo:
C-1 é a matriz inversa de C.
D-1 é a matriz inversa de D.

Matrizes: Inversão de matrizes

Achar a matriz inversa de uma matriz já conhecida é um procedimento que abrange igualdade e multiplicação de matrizes. Por isso, para achar a inversa de uma matriz, deve-se solucionar a igualdade da matriz (A.X = In). Na situação em que sejam fornecidas duas matrizes e seja solicitada a verificação de sua inversa, basta realizar a multiplicação dessas duas matrizes. Se o resultado for uma matriz identidade, então se trata de uma matriz inversa.

O processo para definir a matriz inversa é denominado de processo de inversão sobre matriz adjunta. É um processo mais extenso que o processo de sistemas lineares, contudo, bem mais simples, uma vez que não caem em x sistemas de x equações. O uso desse processo depende da teoria A(-1) = 1/det(A).A, onde:

– A(-1): matriz inversa de.
– det(A): determinante da matriz.
– A: matriz adjunta.

O processo por matriz adjunta é formado por:
– Achar o determinante da matriz;
– Determinar a matriz dos cofatores;
– Achar a matriz adjunta;
– Calcular A(-1) = 1/det(A).A

Exemplo:

1) Determinar a matriz inversa de A= |1 3|
|2 0|
– Calcular o determinante
|1 3|
|2 0| = det (4) => (1.0)-(2.3) ==> det(A) = -6

Como o determinante de A deu diferente de 0, então é certeza que existe uma matriz inversa. O passo seguinte é calcular a matriz dos cofatores (C) de A.
C= |A 1,1 A 1,2|
|A 2,1 A 2,2|

– Cofator A (i,j), do componente A 1,1
A 1,1 = (-1)i+j => D (A 1,1) = (-1) 1+1.|0| => A 1,1 = 1.0 => A 1,1 = 0

– Cofator A (i,j), do componente A 1,2
A 1,2 = (-1) i+j => D (A 1,2) = (-1) 1+2.|2| => A 1,2 = (-1) 3.|2| => A 1,2 = (-1).2 => A 1,2 = -2

– Cofator A (i,j), do componente A 2,1
A 2,1 = (-1) i+j => D (A 2,1) = (-1) 2+1.|3| => A 2,1 = (-1) 3.|3| => A 2,1 = (-1).3 => A 2,1 = -3

– Cofator A (i,j), do componente A 2,2
A 2,2 = (-1)i+j => D (A 2,2) = (-1) 2+2.|1| => A 2,2 = (-1)4.|1| => A 2,2 = 1.1 => A 2,1 = 1

Como os valores já foram determinados é possível escrever a matriz dos cofatores (C):
C= |A 1,1 A 1,2| = |0 -2| 3
|A 2,1 A 2,2| |-3 1|

A próxima etapa é a determinação da matriz adjunta, onde a matriz adjunta de A é a matriz transposta de C. Portanto:

A= |0 -2| (t) => A = |0 -3|
|-3 1| |-2 1|

Por fim, calcula-se a inversa pela teoria A(-1) = 1/det(A).A
A(-1) = 1/det(A).A => A(-1) = 1/-6 . |0 -3| => A(-1) = -1/6 . |0 -3|
|-2 1| |-2 1|

Multiplicando -1/6 pelos componentes da matriz, determina-se a inversa de A.

A(-1) = |0 1/2|
|1/3 -1/6|

2) Determine a matriz inversa de M = |4 1|
|11 3|

– Det M => |4 1| => (4.3)-(11.1) => 12 – 11 = 1
|11 3|

– Matriz de cofatores: C= |3 -11|
|-1 4|

– Matriz adjunta de M, sendo que a matriz adjunta de M é a matriz transposta de C:
M = | 3 -11| (t) => M = | 3 -1|
|-1 4| |-11 4|

– Agora é possível achar a matriz inversa de M
M(-1) = 1/det (M).M => M (-1) = 1/1 . |3 -1| => M(-1) = |3 -1|
|-11 4| |-11 4|

Propriedades

A matriz inversa de A apresenta as seguintes características:

  • A matriz inversa é original. Essa característica é o resultado dos grupos das matrizes quadradas nxn com o cálculo binário de multiplicação de matrizes compor um monoide;
  • A matriz inversa da que é invertível também é invertível, onde a inversa da inversa é a própria matriz: A = A (-1)-1;
  • A matriz transposta de uma inversa é também inversa, e a inversa da transposta é a transposta da matriz inversa: (At)-1 = (A -1)t
  • A matriz inversa de uma matriz multiplica por um número diferente de zero, é a matriz inversa multiplicada pelo oposto do número;
  • (n.A)-1 = n-1 . A-1
  • O oposto do resultado de matrizes inversas é igual ao produto das inversas dessas matrizes com a ordem trocada;
  • det A diferente de 0.