Divididos em duas classificações (inversamente e diretamente), os números proporcionais são usados em situações que englobam divisões de lucros, prejuízos, situações de sociedade em investimento, entre outras ocasiões de distribuição de capitais. A proporção, então, equivale à igualdade entre duas razões.
Imagine seis números não nulos (u, v, w, x, y, z). Nessa mesma ordem em que estão dispostos, eles se tornam diretamente proporcionais quando a igualdade das suas respectivas razões tem o mesmo valor. Assim, u/v = w/x = y/z.
Veja o que acontece nas sequências numéricas 2, 6, 10 e 1, 3, 5. O quociente de cada termo da primeira sequência pelo correspondente da segunda sequência é sempre o mesmo: 2, que se torna, então, o fator de proporcionalidade.
2/1 = 2, 6/3 = 2 e 10/5 = 2. Portanto, a sequência 2, 6, 10 é diretamente proporcional à ordem 1, 3, 5.
• Exemplos
– Desvende se as sequências 2, 5, 8, 10 e 6, 15, 24, 30 são diretamente proporcionais.
2/6 = 5/15 = 8/24 = 10/30
2:2/6:2 = 5:5/15:5 = 8:8/24:8 = 10:10/30:10
1/3 = 1/3 = 1/3
Nota-se que realmente há a igualdade entre as razões. Assim, com o fator de proporcionalidade 1/3, podemos classificar as sequências como diretamente proporcionais.
– Neste exercício, o objetivo é um pouco diferente: desvendar os valores de x e y, sendo que são diretamente proporcionais às sequências 6, 8, 16 e 30, x, y.
6/30 = 8/x = 16/y
6/30 = 8/x (aplica-se aqui a regra de três)
6.x = 8.30
6x = 240
x = 240/6
x = 40
6/30 = 16/y (aplica-se aqui, também, a regra de três)
6.y = 30.16
6y = 480
y = 480/6
y = 80
Um número se caracteriza como inversamente proporcional quando o fator de proporcionalidade aparece numa operação que envolve um número pelo inverso do outro.
Imaginando aquela mesma sequência de números não nulos, anteriormente citada (a, b, c e d, e, f), concluímos que: a/1/d = b/1/e = c/1/f.
• Exemplos
– Neste exercício, o objetivo é verificar se as sequências numéricas são inversamente proporcionais (2, 4, 6 e 90, 45, 30).
2/1/90 = 4/1/45 = 6/1/30
2.90 = 4.45 = 6.30
180 = 180 = 180
Com a igualdade já caracterizada, podemos constatar então que são inversamente proporcionais as sequências 2, 4, 6 e 90, 45, 30.
– O intuito do exercício a seguir é o mesmo do anterior: determinar se os números são inversamente proporcionais.
2/1/20 = 4/1/10 = 8/1/5 (conserve aqui o numerador e depois multiplique pelo inverso do denominador)
2.20 = 4.10 = 8.5
40 = 40 = 40
Tendo um fator de proporcionalidade (que neste caso é o número 40), as sequências 2, 4, 8 e 20, 10, 5 são inversamente proporcionais.
• Exemplos de divisão proporcional
– Três amigos decidiram abrir uma locadora de filmes em DVD. João ingressou no negócio com R$ 12 mil, Wellington entrou com a bagatela de R$ 16 mil e Fernando com a quantia de R$ 8 mil. Nos seis primeiros meses do negócio, os sócios tiveram um lucro de R 7,2 mil e dividiram toda essa quantia entre eles três, em partes diretamente proporcionais ao capital que cada um ingressou. Qual o valor que cada um dos sócios recebeu?
Vamos denominar as partes que resultarão da divisão como a, b, c.
Portanto: a (12000) = b (16000) = c (8000) = K (coeficiente de proporcionalidade).
Para calcular, vamos usar a seguinte fórmula: a + b + c = 7200
12000k + 16000k + 8000k = 7200
36000k = 7200
k = 7200 : 36000
k = 0,2
Portanto, o coeficiente de proporcionalidade é 0,2. Esse número, então deverá ser multiplicado por cada um dos sócios para que estes assim recebam a quantia que equivale proporcionalmente aos seus investimentos iniciais.
12000 . 0,2 = R$ 2,4 mil (João)
16000 . 0,2 = R$ 3,2 mil (Wellington)
8000 . 0,2 = R$ 1,6 mil (Fernando)
– Para abrir uma pequena empresa de material escolar, os amigos Josué e Mateus investiram inicialmente um capital de R$ 2,4 mil e R$ 1,6 mil, respectivamente. Dessa forma, a companhia iniciou suas atividades com um capital de R$ 4 mil.
Levando em conta que os lucros seriam divididos proporcionalmente ao investimento inicial de cada um deles, quanto Josué e Mateus receberão num mês cujo lucro foi de R$ 800?
Nesse caso, vamos calcular o coeficiente de proporcionalidade por meio da razão: lucro / capital.
K= 800/4000 = 0,2 (coeficiente de proporcionalidade)
O número deve agora ser multiplicado pelos valores investidos pelos sócios para que estes assim recebam a quantia que equivale proporcionalmente aos seus capitais iniciais.
2400 . 0,2 = R$ 480 (Josué)
1600 . 0,2 = R$ 320 (Mateus)
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